lgebra Lineal;Stanley I. Grossman

74 CAPÍTULO 1 Sistemas de ecuaciones lineales y matrices
38. Sea
⎛ ⎞
A5 5 0
⎝
⎜
2 a ⎠
⎟
f (x) 5 x 2 2 25.
determine el valor de α para el cual A es una raíz del polinomio
39. Si ⎛ ⎝ ⎜ ⎞
A5 1 1 0 1⎠
⎟ y ⎛ ⎞
B 5 a b
⎝
⎜
c d ⎠ ⎟ encuentre las condiciones para a, b, c y d tal que AB 5 BA.
⎛
40. Sean A 5 2 2 ⎞
⎝
⎜
8 22
⎠
⎟
⎛
5 22
⎞
y B 2
⎝
⎜
4 22
⎠
⎟, pruebe que A 2 1 B 2 5 (A 1 B) 2 .
⎛
41. Demuestre que a 1 ⎞
⎝
⎜
0 a ⎠
⎟
n
⎛
5 a na
⎝
⎜
0 a n
n n21
⎞
⎠
⎟ .
42. Una matriz A de n x n tal que A 2 5 I n
se llama involutiva. Pruebe que la siguiente matriz
es involutiva:
⎛ 0 1 21⎞
A 5 ⎜ 4 23 4⎟
.
⎜
⎟
⎝ 3 23 4⎠
43. Dada la siguiente matriz pruebe que A 2 5 A:
⎛ 21 3 5⎞
A 5 ⎜ 1 23 25⎟
⎜
⎟ .
⎝ 21 3 5 ⎠
44. Sean a 11
, a 12
, a 21
y a 22 números reales dados tales que a 11 a 22 2 a 12 a 21 Z 0.
Encuentre los números b 11
, b 12
, b 21
y b 22
tales que ⎛ ⎝ ⎜
a
a
a
a
11 12
21 22
⎞ ⎛ b
⎟ ⎜
⎠ ⎝b
b ⎞
⎟
b
5 ⎛ 1 0⎞
⎠ ⎝
⎜
0 1⎠
⎟ .
11 12
21 22
⎛ 2 21 4⎞
45. Verifique la ley asociativa para la multiplicación de las matrices A 5
⎝
⎜1 0 6 ⎠
⎟ ,
⎛ 1 0 1⎞
⎛ 1 6⎞
B5 ⎜
2 21 2
⎟ y C5
⎜
22 4
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟ .
⎝ 3 22 0⎠
⎝ 0 5⎠
46. De la misma forma que en el ejemplo 6 suponga que un grupo de personas ha contraído
una enfermedad contagiosa. Estas personas tienen contacto con un segundo grupo que, a
⎛1 0 1 0⎞
su vez, tiene contacto con un tercer grupo. Si A 5
⎜
0 1 1 0
⎟ representa los contactos
⎝
⎜1 0 0 1⎠
⎟
⎛1 0 1 0 0⎞
⎜
0 0 0 1 0
⎟
entre el grupo contagioso y los miembros del grupo 2, y si B 5 ⎜
⎟ representa
⎜1 1 0 0 0⎟
⎜
⎟
⎝ 0 0 1 0 1⎠