lgebra Lineal;Stanley I. Grossman

4.11 Espacios con producto interno y proyecciones 433
(x, y) 5 x 1
y _ 1 1 x 2 y_ 2 1 . . . 1 x n
y _ n (1)
Para demostrar que la ecuación (1) define un producto interno, se necesitan algunos hechos
sobre los números complejos. Si el lector no está familiarizado, consulte el apéndice 2. Para i),
Así, i) y ii) satisfacen ya que |x i
| es un número real. Las condiciones iii) y iv) se deducen del hecho
de que z 1
(z 2
1 z 3
) 5 z 1
z 2
1 z 1
z 3
para cualesquiera números complejos z 1
, z 2
y z 3
. La condición v)
se deduce del hecho de que z 1
z 2
5 – z z– y z– 5 z de manera que x y 5 x y . La condición vi) es
1 2 1 1 1 1 1 1
obvia. Para vii) (u, av) 5 (av, u) 5 (av, u) 5 a( v, u) 5 a(u, v). Aquí se usaron vi) y v).
3
EJEMPLO 3 Producto interno de dos vectores en
3
En sean x 5 (1 1 i, 23, 4 23i) y y 5 (2 2i, 2i, 2 1 i). Entonces
( x, y) ( 1 i)( 2 i ) ( 3)( i) ( 43i)( 2 i)
( 1 i )( 2 i) ( 3)( i) ( 43i)( 2
i)
( 1 3i) 3i ( 510i) 6 10i
EJEMPLO 4 Un producto interno en C[a, b]
CÁLCULO
Suponga que a , b; sea V 5 C[a, b] el espacio de las funciones de valores reales continuas en
el intervalo [a, b] y defina
b
( f, g) f ( t) g ( t)
dt
(2)
a
Se verá que esto también es un producto interno. †
b
2
i) ( f, f ) f ( t)
dt 0.Es un teorema básico del cálculo que si f C a, b , f 0 sobre
b
a
ab , y f( t) dt
0, entonces f 5 0 sobre [a, b]. Esto prueba i) y ii), iii)-vii) se deducen de los
a
hechos básicos sobre integrales definidas.
Nota. En C[a, b] se supone que los escalares son números reales y que las funciones son de valores
reales, de manera que no nos preocupamos por los complejos conjugados; sin embargo, si
las funciones son de valores complejos, entonces de todas maneras se puede definir un producto
interno. Vea más detalles en el problema 27.
EJEMPLO 5 El producto interno de dos funciones en C[0, 1]
CÁLCULO
Sea f (t) 5 t 2 P C[0, 1] y g(t) 5 (4 2t) P C[0, 1]. Entonces
3 4 1
1
1 t t
2
2 3 4
( f , g)
t ( 4 t) dt ( 4t t ) dt
3 4
13
0 0
12
0
†
Ésta no es la única manera de definir un producto interno sobre C[a, b], pero es la más común.