lgebra Lineal;Stanley I. Grossman

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586 CAPÍTULO 6 Valores característicos, vectores característicos y formas canónicas d) Reescriba la ecuación en la forma a9x9 2 1 b9y9 2 5 d e identifique el tipo de sección cónica descrita por la ecuación. Verifique el resultado del teorema 2. e) (Lápiz y papel) Usando el ángulo de rotación θ y rescribiendo la ecuación del inciso d), bosqueje la sección cónica descrita por la ecuación original. En el bosquejo indique la parte de la geometría del dibujo que se obtiene con el conocimiento de los valores característicos. 1. Trabaje el problema 12. 2. Trabaje el problema 10. 3. Trabaje el problema 5. 4. Trabaje el problema 15. 6.6 FORMA CANÓNICA DE JORDAN Ya se ha visto que las matrices de n 3 n con n vectores característicos linealmente inde pendientes se pueden expresar en una forma especialmente sencilla por medio de una transformación de semejanza. Por suerte, como “la mayor parte” de los polinomios tienen raíces diferentes, “la mayor parte” de las matrices tendrán valores característicos distintos. Sin embargo, como se verá en la sección 6.7, las matrices que no son diagonalizables (es decir, que no tienen n vectores característicos linealmente independientes) surgen en la práctica. En este caso, aún es posible demostrar que la matriz es semejante a otra, una matriz más sencilla, pero la nueva matriz no es diagonal y la matriz de transformación C es más difícil de obtener. Para analizar bien este caso, se define la matriz N k como la matriz de k 3 k ⎛ 0 ⎜ 0 ⎜ N k 5 ⎜ ⎜ ⎜ 0 ⎝ ⎜ 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0⎞ 0 ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ 1⎟ 0⎠ ⎟ (1) MATRIZ DE BLOQUES DE JORDAN Observe que N k es la matriz con unos arriba de la diagonal principal y ceros en otra parte. Para un escalar dado λ se define la matriz de bloques de Jordan † B(λ) por ⎛ λ 1 0 ⎜ 0 λ 1 ⎜ B( λ) 5 λI 1N k 5⎜ ⎜ ⎜ 0 0 ⎝ ⎜ 0 0 0 0 ⎞ 0 0 ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ λ 1⎟ 0 λ⎠ ⎟ (2) Es decir, B(λ) es la matriz de k 3 k con el escalar λ en la diagonal, unos arriba de la diagonal y ceros en otra parte. † Denominada así en honor del matemático francés Camille Jordan (1838-1922). Los resultados en esta sección aparecieron por primera vez en el brillante trabajo de Jordan Traité des substitutions et des équations algebriques (Tratado sobre sustituciones y ecuaciones a<strong>lgebra</strong>icas), publicado en 1870.
6.6 Forma canónica de Jordan 587 Nota. Se puede (y con frecuencia se hará) tener una matriz de bloques de Jordan de 1 3 l. Esa matriz toma la forma B( λ) 5 ( λ). MATRIZ DE JORDAN Por último, una matriz de Jordan J tiene la forma ( ) ⎛ B λ 1 ⎜ 0 J 5 ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 0 1 0 B λ 2 ( 2 ) 0 B r 0 ⎞ 0 ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ( λ ) ⎠ r donde cada B j (λ j ) es una matriz de bloques de Jordan. Entonces una matriz de Jordan es una matriz que tiene en la diagonal matrices de bloques de Jordan y ceros en otra parte. EJEMPLO 1 Tres matrices de Jordan Los siguientes ejemplos son matrices de Jordan. Los blo ques de Jordan se marcaron con líneas punteadas: i. ⎛ 2 1 0⎞ ⎜ ⎟ ⎜ 0 2 0 ⎟ ⎝ ⎜ 0 0 4⎠ ⎟ ii. ⎛ 23 0 0 0 0⎞ ⎜ 0 23 1 0 0 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 0 0 23 1 0⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 0 0 0 23 0⎟ ⎝ ⎜ 0 0 0 0 7⎠ ⎟ iii. ⎛ 4 1 0 0 0 0 0⎞ ⎜ 0 4 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 0 0 3 1 0 0 0⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 0 0 0 3 1 0 0⎟ ⎜ 0 0 0 0 3 0 0⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 5 1⎟ ⎝ ⎜ 0 0 0 0 0 0 5⎠ ⎟ EJEMPLO 2 Matrices de Jordan de 2 3 2 1 ⎞ λ⎠ ⎟ . En la primera matriz los nú- Las únicas matrices de Jordan de 2 3 2 son ⎛ λ ⎝ ⎜ 1 0 meros λ 1 y λ 2 pueden ser iguales. 0 ⎞ λ ⎟ ⎠ 2 y ⎛ λ ⎝ ⎜ 0 EJEMPLO 3 Matrices de Jordan de 3 3 3 Las únicas matrices de Jordan de 3 3 3 son ⎛ λ 0 0 ⎞ 1 ⎜ 0 λ 0 ⎟ 2 ⎝ ⎜ 0 0 λ ⎟ ⎠ 3 ⎛ λ 0 0 ⎞ 1 ⎜ 0 λ 1 ⎟ 2 ⎝ ⎜ 0 0 λ ⎠ ⎟ 2 ⎛ λ 1 0 ⎞ 1 ⎜ 0 λ 0 ⎟ 1 ⎝ ⎜ 0 0 λ ⎠ ⎟ 2 ⎛ λ 1 0 ⎞ 1 ⎜ 0 λ 1 ⎟ 1 ⎝ ⎜ 0 0 λ ⎠ ⎟ 1 donde no es necesario que λ 1 , λ 2 y λ 3 sean distintos. El siguiente resultado es uno de los teoremas más importantes en la teoría de matrices. Aunque su prueba queda fuera del alcance de este libro, † se demostrará para el caso de 2 3 2 (vea el teorema 3) y se sugiere una demostración para el caso de 3 3 3 en el problema 22. † Vea la demostración en G. Birkhoffy S. MacLane, A Survey of Modern A<strong>lgebra</strong>, 3a., Nueva York, Macmillan, 1965, p. 311.
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