lgebra Lineal;Stanley I. Grossman

596 CAPÍTULO 6 Valores característicos, vectores característicos y formas canónicas
En el modelo anterior se busca una función desconocida. Con frecuencia ocurre que existen
varias funciones ligadas por varias ecuaciones diferenciales. Más adelante se darán ejemplos.
Considere el siguiente sistema de n ecuaciones diferenciales con n funciones desconocidas:
x′ () t 5a x () t 1a x ( t) 11a x ( t)
1 11 1 12 2 1n
n
x′ () t 5a x () t 1a x () t 11a
x () t
2 21 1 22 2 2n
n
x′ () t 5a x () t 1a x () t 11a x (
t)
n n1 1 n2 2 nn n
(6)
donde las cantidades a ij
son números reales. El sistema (6) se denomina sistema de ecuaciones
diferenciales lineales de primer orden de n 3 n. El término “primer orden” significa que sólo
ocurren derivadas de primer orden en el sistema.
Ahora sea
⎛ x () t ⎞
1
⎜ ⎟
x () t
2
x()
t 5 ⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ x () t ⎠
n
FUNCIÓN
VECTORIAL
En este caso, x(t) se denomina función vectorial. Se define
⎛ x′
() t ⎞
1
⎜ ⎟
x′
() t
2
x′
() t 5 ⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ x′
() t ⎠
n
Entonces si se define la matriz de n 3 n
⎛ a
⎜
a
A5
⎜
⎜
⎜
⎝
21
a n
11
1
a
a
a
12
22
n2
a
a
a
1n
2n
nn
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
El sistema (6) se puede escribir como
x9(t) 5 Ax(t) (7)
Observe que la ecuación (7) es casi idéntica a la ecuación (3). La única diferencia es que ahora
se tiene una función vectorial y una matriz mientras que antes se tenía una función “escalar” y
un número (matriz de 1 3 1).
Para resolver la ecuación (7) se puede esperar que la solución tenga la forma e At . Pero ¿qué
significa e At ? Se responderá a esta pregunta enseguida. Primero, recuerde la expansión en serie
de la función e t :
e
t
511t1 t 2 t 3 t 4
1 1 1 (8)
2! 3! 4!