lgebra Lineal;Stanley I. Grossman

Resumen 449
T es totalmente ordenado, de manera que uno de los conjuntos A i
contiene a todos
los demás (vea el problema 3); denominados A k
a este conjunto (se puede llegar a
esta conclusión sólo porque {A 1
, A 2
, . . . , A n
} es finito). Así, A i
8 A k
para i 5 1,
2, . . . , n y v 1
, v 2
, . . . , v n
P A k
. Como A k
es linealmente independiente y i
v 0, i
se
i1
deduce que a 1
5 a 2
5 . . . 5 a n
5 0. Entonces M(T) es linealmente independiente.
v. S es no vacío porque [ P S ([ denota el conjunto vacío). Se ha demostrado que
toda cadena T en S tiene una cota superior, M(T), que está en S. Por el lema de
Zorn, S tiene un elemento maximal. Pero S consiste en todos los subconjuntos
linealmente independientes de V. El elemento maximal B P S es, por lo tanto, un
subconjunto linealmente independiente maximal de V. Entonces, por el teorema 1,
B es una base para V.
n
Problemas 4.12
1. Demuestre que todo conjunto linealmente independiente en un espacio vectorial V se puede
expandir a una base.
2. Demuestre que todo conjunto generador en un espacio vectorial V tiene un subconjunto
que es una base.
3. Sean A 1
, A 2
, . . . , A n
, n conjuntos en una cadena T. Demuestre que uno de los conjuntos
contiene a todos los demás [sugerencia: como T es una cadena, A 1
8 A 2
o bien A 2
8 A 1
.
Entonces el resultado es cierto si n 5 2. Complete la prueba por inducción matemática].
RESUMEN
espacio vectorial real V es un conjunto de objetos, denominados vectores, junto con dos
operaciones denominadas suma (denotada por x 1 y) y multiplicación por un escalar (denotada
por αx) que satisfacen los siguientes axiomas: (p. 281)
viii. Si x P V y y P V, entonces x 1 y P V
viii. Para todo x, y y z en V, (x 1 y) 1 z 5 x 1 (y 1 z)
(cerradura bajo la suma).
viii. Existe un vector 0 P V tal que para todo x P V, x 1 0 5 0 1 x 5 x
cero o idéntico aditivo).
viiv. Si x P V, existe un vector 2x en V tal que x 1 (2x) 5 0
iii v. Si x y y están en V, entonces x 1 y 5 y 1 x
iivi. Si x P V y a es un escalar, entonces ax P V
escalar).
(ley asociativa de la suma de vectores).
(el 0 se llama vector
(2x se llama inverso aditivo de x).
(ley conmutativa de la suma de vectores).
(primera ley dis-
ivii. Si x y y están en V y a es un escalar, entonces a(x 1 y) 5 ax 1 ay
tributiva).
viii. Si x P V y a y b son escalares, entonces (a 1 b)x 5 ax 1 bx
(ley asociativa de la multiplica-
i ix. Si x P V y a y b son escalares, entonces a(bx) 5 (abx)
ción por escalares).
ii x. Para cada x P V, 1x 5 x
(cerradura bajo la multiplicación por un
(segunda ley distributiva).