lgebra Lineal;Stanley I. Grossman

4.11 Espacios con producto interno y proyecciones 441
⎛ 2⎞
15. Con el producto interno del problema 14, calcule
⎝
⎜
23⎠
⎟ .
*
16. En sea (x, y) 5 x 1
y 1
2 x 2
y 2
. ¿Es éste un producto interno? Si no lo es ¿por qué?
*17. Sea V un espacio con producto interno. Demuestre que |(u, v)| , ||u|| ||v||. Esto se denomina
desigualdad de Cauchy-Schwarz [sugerencia: vea el teorema 9 de la sección 4.9].
*18. Utilizando el resultado del problema 17, demuestre que ||u 1 v|| # ||u|| 1 ||v||. Ésta se denomina
desigualdad del triángulo.
CÁLCULO 19. En P 3
[0, 1] sea H el subespacio generado por {1, x 2 }. Encuentre H ' .
* CÁLCULO 20. En C[21, 1] sea H el subespacio generado por las funciones pares. Demuestre que H ' consiste
en las funciones impares [sugerencia: f es impar si f (2x) 5 2f (x) y es par si f (2x) 5
f (x)].
* CÁLCULO 21. H 5 P 2
[0, 1] es un subespacio de P 3
[0, 1]. Escriba el polinomio 1 1 2x 1 3x 2 2x 3 como h(x)
1 p(x), donde h(x) P H y p(x) P H ' .
*22. Encuentre un polinomio de segundo grado que mejor se aproxime a sen π x en el intervalo
2
[0, 1] en el sentido del error cuadrático medio.
*23. Resuelva el problema 22 para la función cos π 2 x.
24. Sea A una matriz de m 3 n con elementos complejos. Entonces la transpuesta conjugada de
A, denotada por A*, está definida por (A*) ij
5 a — . Calcule A* si
ij
1
2i
3
4i
A
2i
6
25. Sea A una matriz invertible de n 3 n con elementos complejos. A se denomina unitaria si
A 21 5 A*. Demuestre que la siguiente matriz es unitaria:
A
1
2
1
2
1 i
2 2
1 i
2 2
*26. Demuestre que una matriz de n 3 n con elementos complejos es unitaria si y sólo si las
columnas de A constituyen una base ortonormal para n
.
* CÁLCULO 27. Se dice que una función f es de valores complejos sobre el intervalo (real) [a, b] si f (x) se
puede expresar como
f (x) 5 f 1
(x) 1 f 2
(x)i, x P [a, b]
donde f 1
y f 2
son funciones de valores reales. La función de valores complejos f es continua
si f 1
y f 2
son continuas. Sea CV[a, b] el conjunto de funciones de valores complejos que son
continuas en [a, b]. Para f y g en CV[a, b], defina
b
a
f, g f x g( x)
dx
(15)
Demuestre que (15) define un producto interno en CV[a, b].
CÁLCULO
CÁLCULO
28. Demuestre que f (x) 5 sen x 1 i cos x y g(x) 5 sen x 2 i cos x son ortogonales en CV[0, π].
29. Calcule ||sen x 1 i cos x|| en CV[0, π].