lgebra Lineal;Stanley I. Grossman

1.8 Inversa de una matriz cuadrada 101
2
A 1 5
1 ⎛ 3 4⎞
⎛
5
10 ⎝
⎜
21 2⎠
⎟ ⎜
⎝ 2
3
10
1
10
4
10
2
10
⎞
⎟
⎠
Verificación
y
A
⎛ 3 4⎞
⎛ 2 24⎞
1 ⎛10 0⎞
⎛ 1 0⎞
A5
5 5
10
⎝
⎜
21 2⎠
⎟
⎝
⎜
1 3⎠
⎟ 10 ⎝
⎜
0 10⎠
⎟
⎝
⎜
0 1⎠
⎟
21
1
3 4
⎛
1
2 24⎞
⎛
⎞ ⎛ ⎞
AA 2 10 10
5
⎝
⎜
1 3⎠
⎟ ⎜ 1 2
⎝2 ⎠ ⎟ 5 1 0 ⎝
⎜
0 1⎠
⎟
10
10
EJEMPLO 5
Una matriz de 2 x 2 que no es invertible
⎛ 1 2⎞
Sea A 5
⎝
⎜ 2 2 2 4⎠
⎟ . Calcule A 21 si existe.
Solución
Se encuentra que det A 5 (1)(24) 2 (2)(22) 5 24 1 4 5 0, de manera que A 21 no existe, como
se observó en el ejemplo 3.
El procedimiento descrito para encontrar la inversa (si existe) de una matriz de 2 3 2 funciona
para matrices de n 3 n donde n . 2. Se ilustra con varios ejemplos.
EJEMPLO 6 Cálculo de la inversa de una matriz de 3 x 3
⎛ 2 4 6⎞
Sea A5
⎜
4 5 6
⎟
⎜⎜ ⎝ 3 1 22⎠
⎟
(Vea el ejemplo 1.3.1 en la página 7). Calcule A 21 si existe.
Solución
Primero se pone A seguido de I en la forma de matriz aumentada
⎛ 2 4 6 | 1 0 0⎞
⎜
4 5 6 | 0 1 0
⎟
⎝
⎜ 3 1 22 | 0 0 1⎠
⎟
y después se lleva a cabo la reducción por renglones.
1
1
⎛ 1 2 3 | 0 0⎞
2
R
R 1 → 1
2 →R2 2 4 R ⎛ 1 2 3 | 2 0 0⎞
1
2
R
2 1
⎯⎯⎯⎯→
⎜
4 5 6 | 0 1 0
⎟ R3 →R3 2 3 R1
⎯⎯⎯⎯⎯→
⎜
0 23 26 | 22 1 0
⎟
⎝
⎜ 3 1 22 | 0 0 1⎠
⎟
3
⎝
⎜ 0 25 211 | 2 2
0 1⎠
⎟
1
5 3
⎛ 1 2 3 | 0 0⎞
2
⎯⎯⎯⎯⎯
R
2
R1 →R1 2 2R
⎛ 1 0 21 | 2 0⎞
1
2 → R
3 2
3 1
→
⎜
0 1 2 | 2 0
⎟ R R R 2
6 2
3 → 3 15 2
⎯⎯⎯⎯⎯→
⎜
2 1
0 1 2 | 2 0
⎟
2 3
3 3
3
⎝
⎜ 0 25 211 | 2 0 1⎠
⎟
5
⎝
⎜ 0 0 21
2 3
1⎠
⎟
5
|
6
2
|
3
11
|
6
2
2
3
1
3
5
3
|
11
6
8 7
⎛ 1 0 21 2 0⎞
R
2
⎯⎯⎯⎯
R
1 →R1 1 R ⎛ 1 0 0 | 2 21⎞
3
3 3
3 → R3
→
⎜
0 1 2 2 0
⎟ R2
→R2 2 2R3
⎯⎯⎯⎯⎯→
⎜
13 11
0 1 0 | 2 2
⎟
3 3
⎝
⎜ 0 0 1 2 21⎠
⎟
11 5
⎝
⎜ 0 0 1 | 2 2 ⎠
⎟
6
3
1