lgebra Lineal;Stanley I. Grossman

334 CAPÍTULO 4 Espacios vectoriales
en
3
forman una base. Pero menos vectores no pueden formar una base ya que, como se vio
en la sección 4.4, el espacio generado por dos vectores linealmente independientes en
3
es un
plano —y un plano no es todo 3
—. De manera similar, un conjunto de cuatro vectores o
más en
3
no puede ser linealmente independiente, pues si los tres primeros vectores en el conjunto
son linealmente independientes, entonces forman una base; por lo tanto, todos los demás
vectores en el conjunto se pueden expresar como una combinación lineal de los primeros tres.
Entonces, todas las bases en
3
contienen tres vectores. El siguiente teorema nos indica que la
respuesta a la pregunta anterior es sí para todos los espacios vectoriales.
TEOREMA 2 Si {u 1
, u 2
, . . . , u m
} y {v 1
, v 2
, . . . , v n
} son bases en un espacio vectorial V, entonces m 5 n;
es decir, cualesquiera dos bases en un espacio vectorial V tienen el mismo número de
vectores.
DEMOSTRACIÓN †
Sea S 1
5 {u 1
, u 2
, . . . , u m
} y S 2
5 {v 1
, v 2
, . . . , v n
} dos bases para V. Debe demostrarse que
m 5 n. Esto se prueba mostrando que si m . n, entonces S 1
es un conjunto linealmente
independiente, lo que contradice la hipótesis de que S 1
es una base. Esto demostrará que
m # n. La misma prueba demostrará que n # m y esto prueba el teorema. Así, basta
demostrar que si m . n, entonces S 1
es dependiente. Como S 2
constituye una base, todo
u i
se puede expresar como una combinación lineal de las v j
. Se tiene
u a v a v a v
1 11 1 12 2 1n
n
u a v a v a v
2 21 1 22 2 2n
n
o o o o
u a v a v a v
m m1 1 m2 2
mn n
(1)
Para demostrar que S 1
es dependiente, deben encontrarse escalares c 1
, c 2
, . . . , c m
, no
todos cero, tales que
c 1
u 1
1 c 2
u 2
1 . . . 1 c m
u m
5 0 (2)
Sustituyendo (1) en (2) se obtiene
c 1
(a 11
v 1
1 a 12
v 2
1 . . . 1 a 1n
v n
) 1 c 2
(a 21
v 1
1 a 22
v 2
1 . . . 1 a 2n
v n
)
La ecuación (3) se puede reescribir como
1 . . . 1 c m
(a m1
v 1
1 a m2
v 2
1 . . . 1 a mn
v n
) 5 0 (3)
(a 11
c 1
1 a 21
c 2
1 . . . 1 a m1
c m
)v 1
1(a 12
c 1
1 a 22
c 2
1 . . . 1 a m2
c m
)v 2
1 . . . 1 (a 1n
c 1
1 a 2n
c 2
1 . . . 1 a mn
c m
)v n
5 0 (4)
Pero como v 1
, v 2
, . . . , v n
son linealmente independientes, se debe tener
(5)
El sistema (5) es un sistema homogéneo de n ecuaciones con las m incógnitas c 1
, c 2
, . . . ,
c m
y como m . n, el teorema 1.4.1 de la página 38, dice que el sistema tiene un número
†
Esta prueba se da para espacios vectoriales con bases que contienen un número finito de vectores. También se manejan
los escalares como si fueran números reales; pero la prueba funciona también en el caso complejo.