lgebra Lineal;Stanley I. Grossman

1.3 m ecuaciones con n incógnitas 33
b) Resuelva los tres sistemas siguientes.
2x 1
1 3x 2
2 4x 3
5 1
x 1
1 2x 2
2 3x 3
5 0
2x 1
1 5x 2
2 11x 3
5 27
2x 1
1 3x 2
2 4x 3
5 21
x 1
1 2x 2
2 3x 3
5 21
2x 1
1 5x 2
2 11x 3
5 26
2x 1
1 3x 2
2 4x 3
5 1
x 1
1 2x 2
2 3x 3
5 2
2x 1
1 5x 2
2 11x 3
5 27
c) Sea A la matriz de coeficientes del inciso a). Elija cualesquiera tres lados derechos de su
preferencia. Resuelva.
d) Es necesario hacer una observación sobre las soluciones de sistemas cuadrados, es decir,
sistemas con tantas ecuaciones como variables. Conteste las siguientes preguntas basando
sus conclusiones en los incisos a) a c). (Ponga especial atención a la forma de la parte
de los coeficientes de rref.)
i. ¿Es posible que un sistema cuadrado tenga una solución única con un lado derecho y
un número infinito de soluciones con otro lado derecho? ¿Por qué sí o por qué no?
ii. ¿Es posible que un sistema cuadrado tenga una solución única con un lado derecho
y no tenga solución con otro?
iii. ¿Es posible que un sistema cuadrado tenga un número infinito de soluciones para un
lado derecho y no tenga solución para otro? ¿Por qué sí o por qué no?
8. Distribución de calor. Se tiene una placa rectangular cuyas orillas se mantienen a cierta
temperatura. Nos interesa encontrar la temperatura en los puntos interiores. Considere el
siguiente diagrama. Hay que encontrar aproximaciones para los puntos T 1
a T 9
, o sea, la
temperatura de los puntos intermedios. Suponga que la temperatura en un punto interior
es el promedio de la temperatura de los cuatro puntos que lo rodean: arriba, a la derecha,
abajo y a la izquierda.
100º 100º 100º
50º
T 1 T 2 T 3
50º
50º
T 4 T 5 T 6
50º
50º
T 7
T 8 T 9
50º
0º 0º 0º
a) Con esta suposición, establezca un sistema de ecuaciones, considerando primero el
punto T 1
, después el punto T , etc. Reescriba el sistema de manera que todas las variables
se encuentren de un lado de la ecuación. Por ejemplo, para T 1
2
se tiene
T 1
5 (100 1 T 2
1 T 4
1 50)/4
que se puede reescribir como 4T 1
2 T 2
2 T 4
5 150.
Encuentre la matriz de coeficientes y la matriz aumentada. Describa el patrón que
observe en la forma de la matriz de coeficientes. Dicha matriz se llama matriz de banda.
¿Puede ver de dónde viene el nombre?
b) Resuelva el sistema usando el comando rref. Observe que se obtiene una solución única.
Use la notación “:” para asignar la solución a la variable x.
c) Suponga que A es la matriz de coeficientes y b es el lado derecho del sistema anterior.
Dé el comando y 5 A\b. (La diagonal aquí se llama diagonal invertida. No es la diagonal
de división.) Compare y y x.