lgebra Lineal;Stanley I. Grossman

174 CAPÍTULO 2 Determinantes
Esto es: el determinante de una matriz triangular es igual al producto de sus componentes
en la diagonal.
DEMOSTRACIÓN
La parte triangular inferior del teorema se deduce del ejemplo 9. Se demostrará la parte
triangular superior por inducción matemática comenzando con n 5 2. Si A es una
⎛ a a ⎞
11 12
matriz triangular superior de 2 3 2, entonces A 5 ⎜
⎝ 0 a
⎟
22 ⎠
y det A 5 a a – 11 22
a 12
? 0 5 a 11
a 22
de manera que el teorema se cumple para n 5 2. Se supondrá que se cumple
para k 5 n 21 y se demostrará para k 5 n. El determinante de una matriz triangular
superior de n 3 n es
a a a
0 a a
0 0 a
11 11 13
22 23
33
a
a
a
1n
2n
3n
o o o o
0 0 0 an
n
0 a
0 0
a13
o o
0 0
a
22 2
a a a
n
a
22 23 2
0
23
a2
0 a
33
a3n
0 a
33
a3
a12
o o o o o o
0 0 a 0 0 a
a
n
0 a a
, n
a
3n
0 0 a
1n
, n
( 1)
a1n
o o o o
a
0 0 0
Cada uno de estos determinantes es el determinante de una matriz triangular superior
de (n 21) 3 (n 21) que, de acuerdo con la hipótesis de inducción, es igual al producto
de las componentes en la diagonal. Todas las matrices excepto la primera tienen una
columna de ceros, por lo que por lo menos una de sus componentes diagonales es cero.
De este modo, todos los determinantes, excepto el primero, son cero. Por último,
a a a
22 23 2n
0 a a
33 3n
det A5a
5a
( a a
11
11 22 33
a nn
)
o o o
0 0 a
lo que prueba que el teorema se cumple para matrices de n 3 n.
nn
11
nn
nn
22 2 1
3 1
n
n
nn
EJEMPLO 10
Determinantes de seis matrices triangulares
Los determinantes de las seis matrices triangulares en el ejemplo 8 son |A| 5 2 ? 2 ? 1 5 4; |B| 5
(22)(0)(1)(22) 5 0; |C| 5 5 ? 3 ? 4 5 60; |D| 5 0; |I| 5 1; |E| 5 (2)(27)(24) 5 56.
El siguiente teorema será de gran utilidad.
TEOREMA 2 Sea T una matriz triangular superior. Entonces T es invertible si y sólo si det T ≠ 0.