lgebra Lineal;Stanley I. Grossman

572 CAPÍTULO 6 Valores característicos, vectores característicos y formas canónicas
t
⎛ u ⎞
1
⎜ t ⎟
⎜
u2
⎜
⎜ t
⎝ u ⎠
5 ⎟
⎟⎟
( λ u , Au , ,
Au
)
n
1 1 2
n
t
t
⎛ λ u Au u Au
⎞
1 1 2 1 n
⎜ t
t ⎟
0 u Au u u
2 2 2
5 ⎜
A
n ⎟
⎜ ⎟
⎜ t
t ⎟
⎝ 0 u Au u Au
⎠
Los ceros aparecen porque u 1t
u j
5 u 1
? u j
5 0 si j Z 1. Por otro lado [Q t AQ] t 5 Q t A t (Q t ) t 5 Q t AQ.
Así, Q t AQ es simétrica, lo que significa que debe haber ceros en el primer renglón de Q t AQ que
concuerden con los ceros de la primera columna. Entonces
n
2
n
n
y
⎛ λ 1
0 0 0 ⎞
⎜
0 q q q
⎟
⎜ 22 23 2n
⎟
t
QAQ5
⎜ 0 q q q ⎟
32 33 3n
⎜
⎟
⎜ ⎟
⎝
⎜ 0 q q q
3 nn ⎠
⎟
n2
n
t
QAQ2 λI
5
λ 2 λ
1
0
0
0
q
22
0 0 0
2 λ
q
q q 2 λ q
q q q
q
23 2n
32 33 3n
n2 n3
nn
2 λ
( )
5 2 λ
λ 1
q 2 λ q q
22 23 2n
q q 2 λ q
32 33 3n
q q q
n2 n3
nn
2 λ
( ) M (
5 λ2
λ λ)
1 11
donde M 11
(λ) es el menor 1,1 de Q t AQ 2 λI. Si k 5 1, no hay nada que demostrar. Si k . 1,
entonces |A 2 λI| contiene el factor (λ 2 λ 1
) 2 , y por lo tanto |Q t AQ 2 λI| también contiene el
factor (λ 2 λ 1
) 2 . Entonces |M 11
(λ)| contiene el factor λ 2 λ 1
, lo que quiere decir que |M 11
(λ)| 5
0. Esto significa que las últimas n 2 1 columnas de Q t AQ 2 λ 1
I son linealmente dependientes.
Como la primera columna de Q t AQ 2 λ 1
I es el vector cero, se tiene que Q t AQ 2 2 1
I contiene a
lo más n 2 2 columnas linealmente independientes. En otras palabras, ρ(Q t AQ 2 λ 1
I) # n 2 2.
Pero Q t AQ 2 λ 1
I y A 2 λ 1
I son semejantes; así, del problema 6.3.23, ρ(A 2 λ 1
I) # n 2 2. Por
lo tanto, ν(A 2 λ 1
I) $ 2 lo que significa que E λ
5 núcleo de (A 2 λ 1
I) contiene al menos dos
vectores característicos linealmente independientes. Si k 5 2, la demostración termina. Si k .
2, entonces se toman dos vectores ortonormales u 1
, u 2
en E λ
y se expanden a una nueva base
ortonormal {u 1
, u 2
, . . . , u n
} para R n y se define P 5 {u 1
, u 2
, . . . , u n
}. Entonces, justo como se
hizo, se demuestra que
⎛ λ 2 λ 0
1
⎜
0 λ 2 λ
⎜
1
⎜
t
0 0
PAP2 λI
5 ⎜
⎜ 0 0
⎜
⎝
⎜ 0 0
0 0 0 ⎞
0 0 0
⎟
⎟
⎡β 2 λ β β ⎤ ⎟
33 34
3n
⎢
⎥ ⎟
⎢β β 2 λ β
43 44 4n
⎥ ⎟
⎢ ⎥ ⎟
⎢
⎥
⎣⎢
β β β 2 λ
n3 n4
nn ⎦⎥
⎠
⎟