lgebra Lineal;Stanley I. Grossman

1.5 Vectores y matrices 47
DEFINICIÓN 4
Igualdad de matrices
Dos matrices A 5 (a ij
) y B 5 (b ij
) son iguales si (1) son del mismo tamaño y (2) las componentes
correspondientes son iguales.
EJEMPLO 4
Matrices iguales y matrices distintas
¿Son iguales las siguientes matrices?
i.
⎛ 4 1 5⎞
⎝
⎜
2 23 0⎠
⎟
y
⎛11
3 1 21
3⎞
⎝
⎜
111 124 626⎠
⎟
ii.
⎛22 0⎞
⎝
⎜
1 3⎠
⎟
y
⎛ 0 22⎞
⎝
⎜
1 3⎠
⎟
iii.
⎛ 1 0⎞
⎝
⎜
0 1⎠
⎟
y
⎛ 1 0 0⎞
⎝
⎜
0 1 0⎠
⎟
Solución
i. Sí; ambas matrices son de 2 3 3 y 1 1 3 5 4, 2 1 3 5 5, 1 1 1 5 2, 1 2 4 5 23 y
6 2 6 5 0.
ii. No; 22 Z 0, por lo que las matrices son distintas ya que, por ejemplo, las componentes
(1, 1) son diferentes. Esto es cierto aun cuando las dos matrices contienen los mismos
números. Las componentes correspondientes deben ser iguales. Esto significa que la
componente (1, 1) en A debe ser igual a la componente (1, 1) en B, etcétera.
iii. No; la primera matriz es de 2 3 2 y la segunda es de 2 3 3, de manera que no tienen el
mismo tamaño.
Los vectores son matrices de un renglón o de una columna
Cada vector es un tipo especial de matriz. Así, por ejemplo, el vector renglón de n
componentes (a 1
, a 2
, . . . c n
) es una matriz de 1 3 n, mientras que el vector columna de
⎛ a ⎞
1
⎜
a
⎟
⎜ 2 ⎟
n componentes ⎜ ⎟ es una matriz de n 3 1.
⋮
⎝
⎜
⎠
⎟
a n
Las matrices, al igual que los vectores, surgen en un gran número de situaciones prácticas.
⎛10⎞
⎜
30
⎟
Por ejemplo, en la página 46 se analizó la manera en que el vector ⎜ ⎟ puede representar las cantidades
ordenadas de cuatro productos distintos utilizados por un fabricante. Suponga que
⎜15⎟
⎜ ⎟
⎝ 60⎠
se