lgebra Lineal;Stanley I. Grossman

184 CAPÍTULO 2 Determinantes
De manera similar, como U es triangular superior,
Entonces se tiene el siguiente teorema:
det U 5 producto de los elementos en la diagonal
TEOREMA 2
Si una matriz cuadrada A tiene la factorización LU, A 5 LU donde L tiene unos en la
diagonal, entonces
det A 5 det U 5 producto de los elementos de la diagonal de U
EJEMPLO 2 Uso de la factorización LU para calcular el determinante de una matriz de 4 3 4
Calcule det A, donde .
Solución
Del ejemplo 1.11.1 en la página 136, A 5 LU, donde
Por lo que det A 5 det U 5 (2)(4)(3)(249) 5 21 176.
Si A no se puede reducir a la forma triangular sin hacer permutaciones, por el teorema
1.11.3 en la página 141, existe una matriz permutación P tal que
PA 5 LU
Es sencillo probar que si P es una matriz permutación, entonces det P 5 61 (vea el problema
52). Entonces
det PA 5 det LU
det P det A 5 det L det U 5 det U det L 5 1
6 det A 5 det U
det A 5 6 det U
TEOREMA 3
Si PA 5 LU, donde P es una matriz permutación y L y U son como antes, entonces
det U
det A5 5± det U
det P
EJEMPLO 3 Uso de la factorización PA 5 LU para calcular el determinante de una matriz de 3 3 3
Encuentre det A, donde .