lgebra Lineal;Stanley I. Grossman

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536 CAPÍTULO 6 Valores característicos, vectores característicos y formas canónicas Problemas 6.1 A UTOEVALUACIÓN INDIQUE SI LOS ENUNCIADOS SIGUIENTES SON FALSOS O VERDADEROS I. Los valores característicos de una matriz triangular son los números en la diagonal de la matriz. II. Si la matriz real A de 3 3 3 tiene valores característicos distintos, entonces los vectores característicos correspondientes a esos valores característicos distintos constituyen una base para R 3 . III. Si la matriz A de 3 3 3 tiene dos valores característicos distintos, entonces A tiene a lo más dos vectores característicos linealmente independientes. IV. Si A tiene elementos reales, entonces A puede tener exactamente un valor característico complejo (es decir, un valor característico a 1 ib con b Z 0. V. Si det A 5 0, entonces 0 es un valor característico de A. Elija la opción que responda acertadamente al enunciado propuesto VI. 1 es un valor característico de la matriz identidad 3 3 3. Su multiplicidad geométrica es ________. a) 1 b) 2 c) 3 ⎛ 1 2 0⎞ VII. 1 es el único valor característico de A5 ⎜ 0 1 0 ⎟ . Su multiplicidad geométrica es ______. ⎝ ⎜ 0 0 1⎠ ⎟ a) 1 b) 2 c) 3 De los problemas 1 al 26 calcule los valores característicos y los espacios de la matriz dada. Si la multiplicidad a<strong>lgebra</strong>ica de un valor característico es mayor que 1, calcule su multiplicidad geométrica. ⎛ 1. 2 2 2 2⎞ ⎝ ⎜ 25 1⎠ ⎟ 2. ⎛212 7⎞ ⎝ ⎜ 27 2⎠ ⎟ 3. ⎛ 29 7⎞ ⎝ ⎜ 27 5⎠ ⎟ 4. ⎛ 2 21⎞ ⎝ ⎜ 5 22⎠ ⎟ 5. ⎛ 23 0⎞ ⎝ ⎜ 0 23⎠ ⎟ 6. ⎛ 0 23⎞ ⎝ ⎜ 23 0⎠ ⎟ ⎛ 3 2⎞ 7. ⎝ ⎜ 2 5 1⎠ ⎟ 8. ⎛23 2⎞ ⎝ ⎜ 0 23⎠ ⎟ 9. ⎛22 25⎞ ⎝ ⎜ 5 22⎠ ⎟ 10. ⎛ 1 21 0⎞ ⎜ 21 2 21 ⎟ ⎝ ⎜ 0 21 1⎠ ⎟ 11. ⎛ 5 4 2⎞ ⎜ 4 5 2 ⎟ ⎝ ⎜ 2 2 2⎠ ⎟ 12. ⎛ 1 1 22⎞ ⎜ 21 2 1 ⎟ ⎜ ⎝ 0 1 21⎠ ⎟ 13. ⎛ 0 1 0⎞ ⎜ 0 0 1 ⎟ ⎝ ⎜ 1 23 3⎠ ⎟ 14. ⎛ 1 2 2⎞ ⎜ 0 2 1 ⎟ ⎝ ⎜21 2 2⎠ ⎟ 15. ⎛23 27 25⎞ ⎜ 2 4 3 ⎟ ⎝ ⎜ 1 2 2⎠ ⎟
6.1 Valores característicos y vectores característicos 537 16. ⎛22 5 0⎞ ⎜ 5 22 0 ⎟ ⎝ ⎜ 0 0 1⎠ ⎟ 17. ⎛ 7 22 24⎞ ⎜ 3 0 22 ⎟ ⎝ ⎜ 6 22 23⎠ ⎟ 18. ⎛1 21 21⎞ ⎜ 1 21 0 ⎟ ⎝ ⎜1 0 21⎠ ⎟ 19. ⎛1 2 4⎞ ⎜0 2 3⎟ ⎜ ⎟ ⎝0 0 5⎠ 20. ⎛ 4 6 6⎞ ⎜ 1 3 2 ⎟ ⎝ ⎜21 25 22⎠ ⎟ 21. ⎛ 0 1 0 0⎞ ⎜ 0 0 1 0 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 0 0 0 1⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 0 0 0 1⎠ 22. ⎛ 4 1 0 1⎞ ⎜ 2 3 0 1 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜22 1 2 23⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 2 21 0 5⎠ 23. ⎛ a b 0 0⎞ ⎜ 0 a 0 0 ⎟ ⎜ ⎟ ; b Z 0 24. ⎜ 0 0 a 0⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 0 0 0 a⎠ ⎛ a 0 0 0⎞ ⎜ 0 a 0 0 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 0 0 a 0⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 0 0 0 a⎠ 25. ⎛ a b 0 0⎞ ⎜ 0 a c 0 ⎟ ⎜ ⎟ ; bcd Z 0 26. ⎜ 0 0 a d⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 0 0 0 a ⎠ ⎛ a b 0 0⎞ ⎜ 0 a c 0 ⎟ ⎜ ⎟ ; bc Z 0 27. ⎜ 0 0 a 0⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 0 0 0 a⎠ ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 3 1 0 0 0 3 0 0 0 0 4 1 0 0 0 4 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎛ ⎞ 28. Demuestre que para cualesquiera números reales a y b, la matriz A 5 a b ⎝ ⎜ 2 b a⎠ ⎟ tiene valores característicos a 6 ib. De los problemas 28 al 34 suponga que la matriz A tiene valores característicos λ 1 , λ 2 , . . . , λ k . 29. Demuestre que los valores característicos de A t son λ 1 , λ 2 , . . . , λ k . 30. Demuestre que los valores característicos de aA son aλ 1 , aλ 2 , . . . , aλ k . 31. Demuestre que A 21 existe si y sólo si λ 1 , λ 2 , . . . , λ k Z 0. *32. Si A 21 existe, demuestre que los valores característicos de A 21 son 1/λ 1 , 1/λ 2 , . . . , 1/λ k . 33. Demuestre que la matriz A 2 aI tiene valores característicos λ 1 2 a, λ 2 2 a, . . . λ k 2 a. *34. Demuestre que los valores característicos de A 2 son λ 12 , λ 22 , . . . , λ k2 . *35. Demuestre que los valores característicos de A m son λ 1m , λ 2m , . . . , λ k m para m 5 1, 2, 3, . . . 36. Sea λ un valor característico de A con v como el vector característico correspondiente. Sea p(λ) 5 a 0 1 a 1 λ 1 a 2 λ 2 1 . . . 1 a n λ n . Defina la matriz p(A) por p(A) 5 a 0 I 1 a 1 A 1 a 2 A 2 1 . . . 1 a n A n . Demuestre que p(A)v 5 p(λ)v. 37. Utilizando el resultado del problema 36, demuestre que si λ 1 , λ 2 , . . . , λ k son valores característicos de A, entonces p(λ 1 ), p(λ 2 ), . . . , p(λ k ) son vectores característicos de p(A). 38. Demuestre que si A es una matriz diagonal, entonces los valores característicos de A son las componentes de la diagonal de A. ⎛ 2 0 0 0⎞ ⎜ 0 2 0 0 ⎟ 39. Sea A 1 5 ⎜ ⎟ , ⎜ 0 0 2 0⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 0 0 0 2⎠ ⎛ 2 1 0 0⎞ ⎜ 0 2 0 0 ⎟ A 2 5 ⎜ ⎟ , ⎜ 0 0 2 0⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 0 0 0 2⎠ ⎛ 2 1 0 0⎞ ⎜ 0 2 1 0 ⎟ A 5 ⎜ ⎟ , 3 ⎜ 0 0 2 0⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 0 0 0 2⎠ ⎛ 2 1 0 ⎞ ⎜ 0 2 1 0 ⎟ A ⎜ 0⎟ 4 5 . ⎜ 0 0 2 1⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 0 0 0 2⎠
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750 CAPÍTULO 6 ⎝ ⎠ 7. a) 3 2 p
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752 APÉNDICES 2 2 y′ x′ 23. 10
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754 APÉNDICES 2 ( k 11)[( k 11) 15
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756 APÉNDICES n 21 1 3n n( 2n 1) 6
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758 Índice Ecuaciones diferenciale
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760 Índice Negativa definida, 585
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762 Índice representación de un,
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lgebra Lineal;Stanley I. Grossman

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