lgebra Lineal;Stanley I. Grossman

464 CAPÍTULO 5 Transformaciones lineales
EJEMPLO 11
Operador de transposición
Defina T: M mn
S M nm
por T(A) 5 A t . Como (A 1 B) t 5 A t 1 B t y (aA) t 5 aA t , se ve que T,
denominado operador de transposición, es una transformación lineal.
EJEMPLO 12
Operador integral
CÁLCULO Sea J: C[0, 1] S R definida por Jf 5 ∫ f ( x)
dx. Como [ f( x) 1g( x)] dx5 f( x)
dx1
0
∫0
∫0
1
1
1
∫ g( x) dx y ∫ α f ( x) dx5 α ∫ f( x)
dx si f y g son continuas, se ve que J es lineal. Por ejemplo,
0
0
J( x ) 5 . J se denomina operador integral.
4
3 1
0
1
1
1
EJEMPLO 13
Operador diferencial
CÁLCULO Suponga que D: C 1 [0, 1] S C [0, 1] se define por Df 5 f9. Como (f 1 g)9 5 f9 1 g9 y (a f )9
5 a f 9 si f y g son diferenciables, se ve que D es lineal. D se denomina operador diferencial.
ADVERTENCIA No toda transformación que parece lineal lo es en realidad. Por ejemplo, defina T: S
por Tx 5 2x 1 3. Entonces la gráfica de {(x, Tx): x H } es una línea recta en el plano xy;
pero T no es lineal porque T (x 1 y) 5 2(x 1 y) 1 3 5 2x 1 2y 1 3 y Tx 1 Ty 5 (2x 1 3) 1
(2y 1 3) 5 2x 1 2y 1 6. Las únicas transformaciones lineales de en son funciones de la
forma f (x) 5 mx para algún número real m. Así, entre todas las funciones cuyas gráficas son
rectas, las únicas que son lineales son aquellas que pasan por el origen. En álgebra y cálculo
una función lineal con dominio está definida como una función que tiene la forma f (x) 5
mx 1 b. Así, se puede decir que una función lineal es una transformación de en si y sólo
si b (la ordenada al origen) es cero.
EJEMPLO 14
Una transformación que no es lineal
Suponga que T: C [0, 1] S
esto se calcula
está definida por Tf 5 f (0) 1 1. Entonces T no es lineal. Para ver
T( f 1 g) 5 ( f 1 g) 1 1 5 f (0) 1 g(0) 1 1
Tf 1 Tg 5 [ f (0) 1 1] 1 [g(0) 1 1] 5 f (0) 1 g(0) 1 2
Esto proporciona otro ejemplo de una transformación que puede parecer lineal pero que, de
hecho, no lo es.
Problemas 5.1
A UTOEVALUACIÓN
Falso-verdadero
I. Si T es una transformación lineal, entonces T(3x) 5 3Tx.
II. Si T es una transformación lineal, entonces T(x 1 y) 5 Tx 1 Ty.
III. Si T es una transformación lineal, entonces T(xy) 5 TxTy.
4
IV. Si A es una matriz de 4 3 5, entonces Tx 5 Ax es una transformación lineal de en 5
.
5
V. Si A es una matriz de 4 3 5, entonces Tx 5 Ax es una transformación lineal de en 4
.