lgebra Lineal;Stanley I. Grossman

5.4 Isomorfismos 507
⎛ a ⎞
0
⎜ ⎟
p(x) 5 a 0
1 a 1
x 1 a 2
x 2 , entonces p(x) 5 T ⎜ a1
⎟ . Esto significa que Im T 5 P 2
y T es sobre. Por
3
lo tanto, _ P 2
.
⎝
⎜ a ⎠
⎟
2
Nota. Dim 3 5 dim P 2
5 3. Entonces por el teorema 2, una vez que se sabe que T es 1-1, también
se sabe que es sobre. Esto ya se verificó, aunque no era necesario hacerlo.
EJEMPLO 7
Un isomorfismo entre dos espacios vectoriales de dimensión infinita
CÁLCULO
Sea V 5 { f ∈ C 1 [0, 1]: f (0) 5 0} y W 5 C 1 [0,1]. Sea D: V S W está dado por Df 5 f 9. Suponga
que Df 5 Dg. Entonces f 9 5 g9 o ( f – g)9 5 0 y f (x) 2 g(x) 5 c, una constante. Pero f (0) 5 g(0)
5 0, de manera que c 5 0 y f 5 g. Entonces D es 1-1. Sea g ∈ C 1 x
[0,1] y sea f( x) 5 ∫ g( t)
dt.
0
Entonces, por el teorema fundamental de cálculo, f ∈ C 1 [0, 1] y f 9(x) 5 g(x) para todo x ∈ [0, 1].
Más aún, como ∫ gt () dt5 0, se tiene que f (0) 5 0. Por lo tanto, para todo g en W existe una
0
0
f ∈ V tal que Df 5 g. Así, D es sobre y se ha demostrado que V _ W.
El teorema que sigue ilustra la similitud entre dos espacios vectoriales isomorfos.
TEOREMA 5
DEMOSTRACIÓN
Sea T : V S W un isomorfismo
i. Si v 1
, v 2
, . . . , v n
genera a V, entonces Tv 1
, Tv 2
, . . . , Tv n
genera a W.
ii. Si v 1
, v 2
, . . . , v n
son linealmente independientes en V, entonces Tv 1
, Tv 2
, . . . , Tv n
son
linealmente independientes en W.
iii. Si {v 1
, v 2
, . . . , v n
} es una base en V, entonces {Tv 1
, Tv 2
, . . . , Tv n
} es una base en W.
iv. Si V tiene dimensión finita, entonces W tiene dimensión finita y dim V 5 dim W.
i. Sea w ∈ W. Entonces como T es sobre, existe un vector v ∈ V tal que Tv 5 w. Como
los vectores v i
generan a V, se puede escribir v 5 a 1
v 1
1 a 2
v 2
1 . . . 1 a n
v n
, de manera
que w 5 Tv 5 a 1
Tv 1
1 a 2
Tv 2
1 . . . 1 a n
Tv n
y eso muestra que {Tv 1
, Tv 2
, . . . , Tv n
}
genera a W.
ii. Suponga que c 1
Tv 1
1 c 2
Tv 2
1 . . . 1 c n
Tv n
5 0. Entonces T(c 1
v 1
1 c 2
v 2
1 . . . 1 c n
v n
) 5
0. Así, como T es 1-1, c 1
v 1
1 c 2
v 2
1 . . . 1 c n
v n
5 0, lo que implica que c 1
5 c 2
5 . . . 5
c n
5 0 ya que los vectores v i
son independientes.
iii. Esto se deduce de las partes i) y ii).
iv. Esto se deduce de la parte iii).
Por lo regular es difícil demostrar que dos espacios vectoriales de dimensión infinita son isomorfos.
Sin embargo, para los espacios de dimensión finita es muy sencillo. El teorema 3 dice que
si dim V ≠ dim W, entonces V y W no son isomorfos. El siguiente teorema muestra que si dim
V 5 dim W, y si V y W son espacios vectoriales reales, entonces V y W son isomorfos. Esto es,
Dos espacios reales de dimensión finita
de la misma dimensión son isomorfos.