lgebra Lineal;Stanley I. Grossman

Respuestas a los problemas impares 731
rrecto: (rotación positiva) (expansión)
(rotación negati va).
⎛ 2 0⎞
b) A 5
⎝
⎜
0 3⎠
⎟
c) T expande por un factor de 2 en la dirección
del primer vector de la base en
B y expande por un factor de 3 en la
dirección del segundo vector de la base
en B.
Problemas 5.4, página 508
1. Como (αA) t 5 αA t y (A 1 B) t 5 A t 1 B t , T
es lineal. A t 5 0 si y sólo si A 5 0 de manera
que Nu(T) 5 {0} y T es 1-1. Para cualquier
matriz A, (A t ) t 5 A, por lo que T es sobre.
3. i) Si T es un isomorfismo, entonces Tx 5
A T
x 5 0 si y sólo si x 5 0. Así, por el
teorema de resumen, det A T
≠ 0.
ii) Si det A T
≠ 0, entonces A T
x 5 0 tiene
una solución trivial. Así T es 1-1, y
como V y W son de dimensión infinita,
T también es sobre.
5. m 5 [n(n 1 1)]/2 dim {A: A es n 3 n y
simétrica}.
7. Defina T: P 4
→ W como T p
5 xp. T p
5 0
implica p(x) 5 0; es decir, p es el polinomio
cero. Así T es 1-1, y como dim W 5
5, T es también sobre.
9. mn 5 pq.
11. La demostración del teorema 6 prue ba la
afirmación bajo el entendimien to de que
los escalares c 1
, c 2
, . . . , c n
son números
complejos.
13. T(A 1
1 A 2
) 5 (A 1
1 A 2
)B 5 A 1
B 1 A 2
B 5
TA 1
1 TA 2
; T(αA) 5 (αA)B 5 α(AB) 5
αTA. Así T es lineal. Suponga que TA 5
0. Entonces AB 5 0. Como B es invertible,
se puede multiplicar por la izquierda por
B 21 para obtener A 5 ABB 21 5 0B 21 5 0,
o sea, A 5 0. Por lo tanto, T es 1-1 y como
dim M nn
5 n 2 , q, T es un isomorfismo.
15. Elija h ∈ H. Después proy H
h 5 h de manera
que T es sobre. Si H 5 V, entonces T
también es 1-1.
17. Como T es un isomorfismo, Nu(T) 5 nu
A 5 {0} de manera que, por el teorema
de resumen, A es invertible. Si x 5 T 21 y,
entonces Tx 5 Ax 5 y con lo que x 5
A 21 y porque A 21 existe. Por lo tanto, T 21 y
5 A 21 y para todo y ∈ n
.
19. Para z 5 a 1 ib ∈ defina Tz 5 (a, b) ∈
2
. Entonces T(z 1
1 z 2
) 5 T((a 1
1 a 2
) 1
i(b 1
1 b 2
)) 5 (a 1
1 a 2
, b 1
1 b 2
) 5 (a 1
, b 1
)
1 (a 2
, b 2
) 5 Tz 1
1 Tz 2
. Si α ∈ , entonces
T(αz) 5 T(α(a 1 ib)) 5 T(αa 1 iαb) 5
(αa, αb) 5 α(a, b) 5 αTz. Por lo tanto,
T es lineal. Por último, si T(z) 5 (0, 0),
entonces es claro que z 5 a 1 ib 5 0 1 i0
5 0. Por lo tanto T es 1-1 y como dim
(sobre los reales) 5 dim
2
5 2, T es un
isomorfismo.
MATLAB 5.4
1. b) Explique por qué T es uno a uno y sobre
4
.
c) A 5 WV 21 , donde la columna i de W
es w i
y la columna i de V es v i
(para
ver por qué, utilice lo si guiente: T(e) 5
α 1
w 1
+ . . . + α 4
w 4
, donde las α i
son las
coordenadas de e respecto a la base en
V; cómo se encuentran las coordenadas,
y que una combinación lineal de
vectores se puede representar como
multiplicación por la matriz cuyas columnas
son los vectores).
⎛ 1
⎜
2
A5
⎜
⎜ 1
⎜
⎝ 0
A
21
0
1
1
2
⎛22
⎜
2
5 ⎜
⎜ 38
⎜
⎝ 4
. 5
1
0
0
1
21
218
22
24⎞
29
⎟
⎟
0⎟
⎟
21⎠
1
0
22
0
21⎞
1
⎟
⎟
10⎟
⎟
1⎠
4
El núcleo será 0, la imagen será y A
es invertible ya que la forma escalonada
reducida por renglones de A es la
identidad.
d) La matriz para S será VW 21 , que es
A 21 .