lgebra Lineal;Stanley I. Grossman

684 CAPÍTULO 2
1 21 0 0
x 11
x x x
1 2 3
n
5 x x 11
x x
1 2 3
n
x x 2
x 3
11
x n
1
se suma la primera columna a la segunda
1 0 0 0
x 11
x 1 x x x
1 1 2 3
n
x x 1 x 11
x x
1 1 2 3
n
x x 1 x 2
x 3
11
x n
1 1
11
x 1 x x x
1 2 3
n
51
x 1 x 11
x x
1 2 3
n
x 1 x x
1 2 3
11
x n
511x 1
1x 2
11 x n
.
Por la hipótesis de inducción se llega a la
conclusión.
n
41. Si n es impar, entonces det A521 ( ) 3
det A52 det A, por lo tanto det A 5 0.
43.
1
1
1
2
1
1
5
2
x y
1 1
x y
2 2
x y
3 3
x 2x x 2x
2 1 3 1
y 2y y 2y
2 1 3 1
Observe las figuras siguientes:
y
y
x y
x y
x y
x
a a a
11 12 1n
a a a
21 22 2n
39. Dado A 5
. Sumemos
a a a
n1 n2
nn
a a a
11 12 1n
los renglones 1, 2,…, n 2 1 al renglón n, en-
a a a
21 22 2
tonces se obtiene A 5
a a a
11 12 1
a a a
21 22 2
5
0 0 0
n
n
50
a a a
n1 n2
nn
n
u
x 2x y 2y
u
x 2x y 2y
El área A del triángulo es la mitad del área del
paralelogramo generado por los vectores u 1
y
u 2
que, por el resultado del problema 2.1.19
está dada por
1 x 2x x 2x
2 1 3 1
A56
2 y 2y y 2y
2 1 3 1
x
1 1 1 1 1 1
45. D 5 a a a 5 0 a 2a a 2a
3 1 2 3
2 1 3 1
2 2 2
2
2
a a a 0 a 2 aa a 2 aa
1
1
5 ( a 2 a )
2 1
a
2
2
3
2
1
2 3
1 3
a 2a a 2a
a 2 a a 2 a
2 1 3 1
2 1 3 1
51
5
2
2
a 2aa
a 2aa
a ( a 2a ) a ( a 2a
)
2
1 2 3
a 2 a
1 1
3 1
5( a 2a )( a 2a ) 5( a 2a )(
a 2a
)( a 2 a )
2 1 3 1
2 1 3 1 3 2
a ( a 2 a )
a a
3 3 1
2 3
1 3
2 2 1 3 3 1