lgebra Lineal;Stanley I. Grossman

598 CAPÍTULO 6 Valores característicos, vectores característicos y formas canónicas
k k21
At ⎡
5 5 A⎢
A
( k 2 1)!
⎣
k 21
k 21
t ⎤
⎥ (15)
( k 21)!
⎦
Entonces combinando (14) y (15), se obtiene (ya que c es un vector constante)
d
t
dt e A I At A t 2
At
x′
() 5 c5 1 1 2 1A t 3
⎡
3
⎤
At
⎢
1⋯⎥ c5Ae c5Ax()
t
⎣
2!
3! ⎦
Por último, como e A.0 5 e 0 5 I, se tiene
x(0) 5 eA?0 x 0
5 Ix 0
5 x 0
DEFINICIÓN 2
Matriz solución principal
La matriz e At se denomina la matriz solución principal del sistema x9 5 Ax.
Todavía queda un problema importante (y obvio): ¿cómo se calcula e At de manera práctica?
Primero se darán dos ejemplos.
EJEMPLO 1
Cálculo de e At cuando A es una matriz diagonal
⎛1
0 0⎞
⎛1
0 0 ⎞
⎛1
Sea A 5
⎜
0 2 0
⎟
. Entonces A 2 5
⎜ 2 ⎟
⎜
⎜
0 2 0
⎟
, A 5
⎜
0
⎝
⎜ 0 0 3⎠
⎟
2
⎝
⎜ 0 0 3 ⎠
⎟
⎝
⎜ 0
0
2
3 3
0
0 ⎞
⎛1
0 0 ⎞
⎟
0
⎟
, ⎜
… , ⎟
A m 5
⎜
0 2
m 0
⎟
y
3
3 ⎠
⎟
⎝
⎜
m
0 0 3 ⎠
⎟
s At 5I 1At1 ⎛1
0 0⎞
⎛ t 0
2 2 3 3
At At
1 15 ⎜
0 1 0
⎟
1
⎜
0 2t
2! 3!
⎝
⎜ 0 0 1 ⎠
⎟
⎝
⎜ 0 0
0 ⎞
0
⎟
3t ⎠
⎟
2
3
⎛ t
⎞ ⎛ t
⎞
⎜ 0 0
2!
⎟ ⎜ 0 0
3!
⎟
⎜
⎟ ⎜
2 2
2 t
1 ⎜
⎟
⎜
0 0 1
2!
⎟
⎜
⎟
3 3
2 t
⎟
0 0 1
⎜ 3!
⎟
⎜
2 2
⎟ ⎜
3 3
⎟
3 t
⎜ 0 0
3 t
⎝
2!
⎠
⎟ ⎜ 0 0
⎝
3!
⎠
⎟
2 3
⎛ t t
⎞
⎜11t
1 1 1
0 0
2! 3!
⎟
⎜
⎟
2 3
⎜
(2t)
( 2t)
⎟
5
⎜
0 11( 2t)
1 1 1
0
2!
3!
⎟
⎜
2 3
⎟
⎜
( 3t)
( 3t)
0 0 11( 3t
) 1 1 1
⎟
⎝
⎜
2!
3!
⎠
⎟
t
⎛ e
⎜
5
⎜
0
⎝
⎜ 0
0
e
0
2t
0 ⎞
⎟
0
⎟
3t
e ⎠
⎟