lgebra Lineal;Stanley I. Grossman

6.8 Una perspectiva diferente: los teoremas de Cayley-Hamilton y Gershgorin 609
Por lo tanto, de (5) se tiene P(λ) 5 Q(λ)(A 2 λI). Por último, del teorema 1, P(A) 5 0.
Esto completa la prueba.
EJEMPLO 2
Ilustración del teorema de Cayley-Hamilton
⎛1
21
4⎞
Sea A5
⎜
3 2 21
⎟
. En el ejemplo 6.1.4, página 529, se calculó la ecuación característica
⎝
⎜ 2 1 21⎠
⎟
⎛ 6 1 1⎞
⎛11
23
22⎞
λ 3 2 2λ 2 2 5 λ 1 6 5 0. Ahora se calcula A 2 5
⎜
7 0 11
⎟
, A 3 5
⎜
29 4 17
⎟
y
⎝
⎜ 3 21
8⎠
⎟
⎝
⎜16
3 5⎠
⎟
⎛11
3 2
A 22A 25A16I
5
⎜
29
⎝
⎜16
23
4
3
22⎞
⎛212
17
⎟
1
⎜
214
5⎠
⎟
⎝
⎜ 26
22
22
⎞
0 222
⎟
2 216⎠
⎟
⎛ 25
1
⎜
215
⎝
⎜210
5
210
25
220⎞
⎛ 6
5
⎟
1
⎜
0
5⎠
⎟
⎝
⎜ 0
0
6
0
0⎞
0
⎟
6⎠
⎟
⎛ 0
5
⎜
0
⎝
⎜ 0
0
0
0
0⎞
0
⎟
0⎠
⎟
En algunas situaciones el teorema de Cayley-Hamilton es útil para calcular la inversa de
una matriz. Si existe A 21 y p(A) 5 0, entonces A 21 p(A) 5 0. Para ilustrar esto, si p(λ) 5 λ n 1
a n21
λ n21 1 . . . 1 a 1
λ 1 a 0
, entonces
p(A) 5 A n 1 a n 2 1
A n 2 1 1 . . . 1 a 1
A 1 a 0
I 5 0
y
A 21 p(A) 5 A n 2 1 1 a n 2 1
A n 2 2 1 . . . 1 a 2
A 1 a 1
I 1 a 0
A 21 5 0
Así
A
1 n
n2
5 (
1
2
2A 2a A 2 2a A2a I
n21
2 1 )
(6)
a
21
2
0
Observe que a 0
Z 0 porque a 0
5 det A (¿por qué?) y se supuso que A era invertible.
EJEMPLO 3 Aplicación del teorema de Cayley-Hamilton para calcular A 21
⎛1
Sea A5
⎜
3
⎝
⎜ 2
21
2
1
4⎞
21
⎟
. Entonces p(λ) 5 λ 3 2 2λ 2 2 5 λ 1 6. Aquí n 5 3, a 2
5 22, a 1
5 25, a 0
5 6 y
21⎠
⎟
1 2
A 5 ( 2A 12A15I)
6
2 1
⎡⎛26
1 ⎢
5
⎜
27
6
⎢
⎢⎝
⎜
⎣
23
21
21⎞
⎛ 2
0 211
⎟
1
⎜
6
1 28⎠
⎟
⎝
⎜ 4
22
4
2
8⎞
⎛ 5
22
⎟
1
⎜
0
22
⎠
⎟
⎝
⎜ 0
0
5
0
0⎞
⎤ ⎛ 1
0
⎟ ⎥ 1
⎥ 5
⎜
21
5⎠
⎟ ⎥
6
⎦ ⎝
⎜ 1
23
9
3
7⎞
213
⎟
25⎠
⎟