lgebra Lineal;Stanley I. Grossman

350 CAPÍTULO 4 Espacios vectoriales
El siguiente teorema da la relación entre el rango y la nulidad.
TEOREMA 7
Sea A una matriz de m 3 n. Entonces
ρ(A) 1 ν(A) 5 n
Es decir, el rango de A más la nulidad de A es igual al número de columnas de A.
DEMOSTRACIÓN
Se supone que k 5 ρ(A) y que las primeras k columnas de A son linealmente independientes.
Sea c i
(i . k) cualquier otra columna de A. Como c 1
, c 2
, . . . , c k
forman una base
para C A
, se tiene, para algunos escalares a 1
, a 2
, . . . , a k
,
c i
5 a 1
c 1
1 a 2
c 2
1 . . . 1 a k
c k
Así, sumando 2a 1
c 1
, 2a 2
c 2
, . . . , 2a k
c k
sucesivamente a la i-ésima columna de A, se
obtiene una nueva matriz B de m 3 n con ρ(B) 5 ρ(A) y ν(B) 5 ν(A) con la columna i
de B igual a 0. † Esto se hace a todas las demás columnas de A (excepto las primeras k)
para obtener la matriz
a a p a 0 0 p 0
11 12 1k
a a p a 0 0 p 0
21 22 2k
D
o o o o o o
a a p a mk
0 0 p 0
m1 m2
Donde ρ(D) 5 ρ(A) y ν(D) 5 ν(A). Mediante un posible reacomodo de los renglones de
D, se puede suponer que los primeros k renglones son independientes. Después se hace
lo mismo con los renglones de (esto es, sumar múltiplos de los primeros k renglones a
los últimos m 2 k) para obtener una nueva matriz:
a a p a 0 p 0
11 12 1k
a a p a 0 p 0
21 22 2k
o o o o o
F a a p a 0 p
0
k1 k2
kk
0 0 p 0 0 p 0
o o o o o
0 0 p 0 0 p 0
donde ρ(F) 5 ρ(A) y ν(F) 5 ν(A). Ahora es obvio que si i . k, entonces Fe i
5 0, ‡ de manera
que E k
5 {e k+1
, e k+2
, . . . , e n
} es un conjunto linealmente independiente de n 2 k vectores
de N F
. Ahora se demostrará que E k
genera N F
. Sea x P N F
un vector de la forma
x
1
x
2
o
x
xk
o
x
n
†
Esto se deduce considerando A t (las columnas de A son los renglones de A t ).
‡
Recuerde que e i
es el vector con un uno en la posición i y cero en las otras posiciones.