lgebra Lineal;Stanley I. Grossman

4.10 Aproximación por mínimos cuadrados 413
donde
y 1 x
1
1
y
1 x
y 2 , 2
A
o o o
y 1 x
y
b
u
m
(3)
Si los puntos no son colineales, entonces y 2 Au ≠ 0 y el problema se convierte en
Forma vectorial del problema de mínimos cuadrados
Encuentre un vector u tal que la forma euclideana
|y 2 Au| (4)
sea mínima
Observe que en 2 2 2
, |(x, y)| 5 x 1 y , en 3 2 2 2
, |(x, y, z)| 5 x 1 y 1 z , etc. Entonces,
minimizar (4) es equivalente a minimizar la suma de cuadrados en (1).
Encontrar el vector u que minimiza no es tan difícil como parece. Como A es una matriz de
n
n 3 2 y u es una matriz de 2 3 1, el vector Au es un vector en que pertenece a la imagen de A.
n
La imagen de A es un subespacio de cuya dimensión es a lo más dos (ya que cuando mucho
dos columnas de A son linealmente independientes). Así, por el teorema de aproximación de la
n
norma en (teorema 8, página 405), (4) es un mínimo cuadrado
Au 5 proy H
y
donde H es la imagen de A. Se ilustrará esto con una gráfica para el caso de n 5 3.
En
3
la imagen de A será un plano o una recta que pasa por el origen (ya que éstos son los
únicos subespacios de
3
de dimensión uno o dos). Vea la figura 4.9. El vector que minimiza
se denota por u. De la figura (y del teorema de Pitágoras) se deduce que |y 5 Au| es mínima
cuando y 2 Au es ortogonal a la imagen de A.
Es decir, si u es el vector que minimiza, entonces para todo vector u P
2
Au ' (y 2 Au) (5)
Usando la definición de producto escalar en n
, se encuentra que (5) se vuelve
Au( y Au) 0
t
( Au) ( y Au)
0
fórmula (6), página 121
t t
( u A )( y Au)
0
teorema 1 ii), página 120
Figura 4.9
y 2 Au es ortogonal a Au.
2