lgebra Lineal;Stanley I. Grossman

Resumen 615
Hasta ahora se ha encontrado el centro y el radio de cada circunferencia de Gershgorin.
xx 52r1 : 2 ∗ r1 / 100 : r1
x 5xx1a1;
z 5real(sqrt(r1 ∗r12xx.
∗ xx));
y 5z1b1; yy 5 2z1b1;
x1 5 ⎡⎣ x fliplr(x) ⎤ ⎦ ;
y1 5 ⎡ ⎣ y yy ⎤ ⎦ ;
Se han creado los vectores x1 y y1 que contienen los valores x y y para la circunferencia (superiores
e inferiores) del radio r1 alrededor de A(1, 1) (observe el “.” antes de “*” en xx.*xx
en el cálculo de z. El comando real se usa para asegurar que los errores de redondeo no creen
valores con pequeñas partes imaginarias para z. Es útil usar “;” al final de cada línea para
evitar que se desplieguen los más de 100 valores).
Repita el último conjunto del programa sustituyendo todos los unos con números dos.
axis( ′ square ′)
plot(x1, y1, ′ b ′, x2, y2, ′ g ′)
plot(real(e), imag(e), ′ m* ′)
El programa grafica las dos circunferencias de Gershgorin (una en azul y la otra en verde),
encuentra los valores característicos y los grafica como puntos (con el símbolo “*” en rojo).
Los colores y símbolo se pueden cambiar.
a) Introduzca una matriz de valores reales de 2 3 2 y el programa anterior. Explique lo que
observa en la gráfica a la luz del teorema 3.
b) Repita el inciso a) para una matriz de valores complejos de 2 3 2.
c) Repita el inciso a) para una matriz de valores complejos de 3 3 3. Será necesario que
agregue algunas instrucciones al programa; es decir, deberá crear r3, a3, b3, x3 y y3 y
modificar la primera instrucción de graficado.
RESUMEN
Valores y vectores característicos
Sea A una matriz de n 3 n con componentes reales. El número λ (real o complejo) se denomina
un valor característico o valor propio de A si existe un vector v diferente de cero en C n tal que (p. 524)
Av 5 λv
El vector v Z 0 se denomina vector característico o vector propio de A correspondiente al valor
característico λ.
A una matriz de n 3 n. Entonces λ es un valor característico de A si y sólo si (p. 525)
p(λ) 5 det(A 2 λI) 5 0