lgebra Lineal;Stanley I. Grossman

518 CAPÍTULO 5 Transformaciones lineales
c) (Lápiz y papel) Pruebe en general que la representación matricial de una rotación es
una matriz ortogonal y que la representación matricial de una reflexión es una matriz
ortogonal.
d) La teoría de isometrías de
2
en
2
implica que una reflexión a través de un vector v de
longitud 1 debe ser una reflexión a través del eje x seguida de una rotación. Un vector
de longitud 1 se puede representar como (cos (a) sen (a)) t . Genere un vector aleatorio w y
divídalo entre su longitud para producir un vector v de longitud 1. Encuentre a mediante
alpha 5 a tan(v(2)/v(1)) (si la primera componente de v es cero, entonces a 5 6 π/2).
Encuentre la representación matricial F de una reflexión a través de v y verifique que F
5 RX, donde R es la representación matricial para una rotación positiva de u 5 2a, y
X es la representación matricial de una reflexión respecto al eje x. Repita para otros dos
vectores w.
e) (Lápiz y papel) Pruebe el resultado del inciso d). [Sugerencia: Encuentre una expresión
general para F en términos de a y utilice las identidades trigonométricas.]
2. Trabaje el problema 4 anterior. Además, verifique que la transformación T mapea una base
ortonormal sobre una base ortonormal. ¿Es siempre cierto esto para una isometría? ¿Por
qué?
RESUMEN
Transformación lineal
Sean V y W dos espacios vectoriales. Una transformación lineal T de V en W es una función que
asigna a cada vector v ∈ V un vector único Tv ∈ W y que satisface, para cada u y v en V y cada
escalar a, (p. 460)
y
T(u 1 v) 5 Tu 1 Tv
T(av) 5 aTv
Propiedades básicas de las transformaciones lineales
Sea T: V S W una transformación lineal. Entonces, para todo vector u, v 1
, v 2
, . . . , v n
en V y
todo escalar a 1
, a 2
, . . . , a n
(p. 472)
i. T(0) 5 0
ii. T(u – v) 5 Tu 2 Tv
iii. T(a 1
v 1
, a 2
v 2
, . . . , a n
v n
) 5 a 1
Tv 1
, a 2
Tv 2
, . . . , a n
Tv n
Núcleo e imagen de una transformación lineal
Sean V y W dos espacios vectoriales y sea T: V S W una transformación lineal. Entonces el
núcleo de T, denotado por nu T, está dado por (p. 475)
nu T 5 {v ∈ V: Tv 5 0}
La imagen de T, denotada por Im T está dada por
Im T 5 {w ∈ W: Tv para algún v ∈ V}
nu T es un subespacio de V e Im T es un subespacio de W.