lgebra Lineal;Stanley I. Grossman

2.2 Propiedades de los determinantes 185
Solución
Del ejemplo 1.11.3 en la página 140, se encontró que PA 5 LU, donde
Ahora bien, det P 5 1 y det U 5 (1)(2)(23), de manera que det A 5 26
1 5 26.
Se establecerá un importante teorema sobre determinantes.
TEOREMA 4
DEMOSTRACIÓN
det A t 5 det A
Suponga que A 5 LU. Entonces A t 5 (LU) t 5 U t L t por el teorema 1.9.1 ii) en la página
119. Se calcula
det A 5 det L det U 5 det U
det A t 5 det U t det L t 5 det U t 5 det U 5 det A det L 5 1
El último paso se basa en que la transpuesta de una matriz triangular superior es triangular
inferior y viceversa, y en el hecho de que obtener la transpuesta no cambia las
componentes de la diagonal de una matriz.
Si A no se puede escribir como LU, entonces existe una matriz permutación P tal
que PA 5 LU. Por lo que se acaba de probar,
y por el teorema 1,
det PA 5 det (PA) t 5 det (A t P t )
det P det A 5 det PA 5 det (A t P t ) 5 det A t det P t
No es complicado probar (vea el problema 53) que si P es una matriz permutación,
entonces det P 5 det P t . Como det P 5 det P t 5 ± 1, se concluye que det A 5 det A t .
EJEMPLO 4
Una matriz y su transpuesta tienen el mismo determinante
Sea y es fácil verificar que |A| 5 |A t | 5 16.
Observación. Dado que los renglones de una matriz son las columnas de su transpuesta, se
deduce que todo lo que se pueda decir sobre los renglones de los determinantes comprenden
una segunda forma de simplificar los cálculos de los determinantes. Los resultados se prueban
para los renglones. Por lo que se acaba de decir, los teoremas se cumplen también para las
columnas.
En primera instancia se describen estas propiedades estableciendo un teorema del que se
deducen diversos resultados importantes. La demostración de este teorema es difícil y se pospone
a la siguiente sección.