lgebra Lineal;Stanley I. Grossman

188 CAPÍTULO 2 Determinantes
Observación. Al utilizar la propiedad 2 se puede probar (vea el problema 36) el interesante hecho
de que para cualquier escalar a y cualquier matriz A de n 3 n, det aA 5 a n det A.
PROPIEDAD 3
Sea
a a a a
11 12 1 j
1
a a a a
21 22 2 j
2
A 5
a a a a
n1 n2
nj
a a a 1
a
a a a 1
a
y C 5
a a a 1 a
1 2
11 12 1 j 1 j 1n
21 22 2 j 2 j 2n
n n nj nj nn
n
n
nn
a a a
a a
21 22
, B 5
a
j
a a a
11 12 1 j
1n
2 2n
n1 n2
nj nn
Entonces
det C 5 det A 1 det B (4)
En otros términos, suponga que A, B y C son idénticas excepto por la columna j y que
la columna j de C es la suma de las j-ésimas columnas de A y B. Entonces, det C 5 det
A 1 det B. La misma afirmación es cierta para renglones.
DEMOSTRACIÓN
Se expande det C respecto a la columna j para obtener
det C 5 (a 1j
1 a 1j
) A 1j
1 (a 2j
1 a 2j
) A 2j
1 1 (a nj
1 a nj
) A nj
5 (a 1j
A 1j
1 a 2j
A 2j
1 1 a nj
A nj
)
1 (a 1j
A 1j
1 a 2j
A 2j
1 1 a nj
A nj
) 5 det A 1 det B
EJEMPLO 8 Ilustración de la propiedad 3
Sea y .
Entonces det A 5 16, det B 5 108 y det C 5 124 5 det A 1 det B.
PROPIEDAD 4
DEMOSTRACIÓN
El intercambio de cualesquiera dos renglones (o columnas) distintos de A tiene el efecto
de multiplicar det A por 21.
Se prueba la afirmación para los renglones y se supone primero que se intercambian
dos renglones adyacentes. Es decir, se supone que se intercambian los renglones i y el
(i 1 1). Sea
y