lgebra Lineal;Stanley I. Grossman

4.6 Bases y dimensión 333
te que c 1
5 c 2
5 c 3
5 c 4
5 0. Así, estas cuatro matrices son linealmente independientes y forman
una base para M 22
, lo que se denomina base canónica para M 22
.
EJEMPLO 3 Una base para un subespacio de R 3
Encuentre una base para el conjunto de vectores que se encuentra en el plano
x
y :2x y 3z
0
z
Solución
En el ejemplo 4.2.6 se observó que π es un espacio vectorial. Para encontrar una base, primero
x
se observa que si x y z se escogen arbitrariamente y si
y
P π, entonces y 5 2x 1 3z. Así, los
vectores en π tienen la forma
z
x x 0 1
0
2x
3z
2x
3z
x
2
z
3
z
0
z
0
1
1
0
Lo cual muestra que
2
3
y
generan a π. Como es evidente que estos dos vectores son
0
1
linealmente independientes (porque uno no es múltiplo del otro), forman una base para π.
Si v 1
, v 2
, . . . , v n
es una base para V, entonces cualquier otro vector v P V se puede escribir como
v 5 c 1
v 1
1 c 2
v 2
1 . . . 1 c n
v n
. ¿Puede escribirse de otra manera como una combinación lineal de
los vectores v i
? La respuesta es no (vea la observación que sigue a la demostración del teorema
4.5.7 de la página 326, para el caso V 5 R n ).
TEOREMA 1
DEMOSTRACIÓN
Si {v 1
, v 2
, . . . , v n
} es una base para V y si v P V, entonces existe un conjunto único de
escalares c 1
, c 2
, . . . , c n
tales que v 5 c 1
v 1
1 c 2
v 2
1 . . . 1 c n
v n
.
Existe cuando menos un conjunto de dichos escalares porque {v 1
, v 2
, . . . , v n
} genera a V.
Suponga entonces que v se puede escribir de dos maneras como una combinación lineal
de los vectores de la base.
Es decir, suponga que
v 5 c 1
v 1
1 c 2
v 2
1 . . . 1 c n
v n
5 d 1
v 1
1 d 2
v 2
1 . . . 1 d n
v n
Entonces, restando se obtiene la ecuación
(c 1
2 d 1
)v 1
1 (c 2
2 d 2
)v 2
1 . . . 1 (c n
2 d n
)v n
5 0
Pero como los v i
son linealmente independientes, esta ecuación se cumple si y sólo
si c 1
2 d 1
5 c 2
2 d 2
5 . . . 5 c n
2 d n
5 0. Así, c 1
5 d 1
, c 2
5 d 2
, . . . , c n
5 d n
y el teorema
queda demostrado.
Se ha visto que un espacio vectorial tiene múltiples bases. Una pregunta surge de manera
natural: ¿contienen todas las bases el mismo número de vectores? En
3
la respuesta es: por supuesto,
sí. Para ver esto, se observa que cualesquiera tres vectores linealmente independientes