lgebra Lineal;Stanley I. Grossman

300 CAPÍTULO 4 Espacios vectoriales
EJEMPLO 2 Una combinación lineal en M 23
3 2 8 1 0 4
2
En M 23
,
3
2
1 9 3
2 3 6
lo que muestra que 3 2 8
1 9 3
⎛ −1 0 4 ⎞ ⎛ −2⎞
es una combinación lineal de
⎝
⎜
5 ⎠
⎟ y
⎝
⎜
−2 3 −6⎠
⎟ .
EJEMPLO 3
Combinaciones lineales en P n
En P n
todo polinomio se puede escribir como una combinación lineal de los “monomios” 1, x,
x 2 , . . . , x n .
DEFINICIÓN 2
Conjunto generador
Se dice que los vectores v 1
, v 2
, . . . , v n
de un espacio vectorial V generan a V si todo vector
en V se puede escribir como una combinación lineal de los mismos. Es decir, para todo
v P V, existen escalares a 1
, a 2
, . . . , a n
tales que
v 5 a 1
v 1
1 a 2
v 2
1 . . . 1 a n
v n
(2)
EJEMPLO 4 Conjunto de vectores que generan R 2 y R 3
En la sección 3.1 se vio que los vectores i 1
j
0
y
0 1
generan 2 . En la sección 3.3 se
1
0
0
vio que i
0
, j
1
y k
0
generan 3
.
0
0
1
Ahora se verá brevemente la generación de algunos otros espacios vectoriales.
EJEMPLO 5
n 1 1 vectores que generan a P n
Del ejemplo 3 se deduce que los monomios 1, x, x 2 , . . . , x n generan a P n
.
EJEMPLO 6 Cuatro vectores que generan a M 22
a b
Como a b c
c d
1 0
0 1
0 0 0 0
0 0
1 0
d 0 0 0 1
, vemos que 1 0
0 1
,
0 0
0 0
,
0 0
0 0
1 0
y
0 1
generan a M 22
.
EJEMPLO 7
Ningún conjunto finito de polinomios generan a P
Sea P el espacio vectorial de polinomios. Entonces ningún conjunto finito de polinomios genera
a P. Para ver esto, suponga que p 1
, p 2
, . . . , p m
son polinomios. Sea p k
el polinomio de mayor