lgebra Lineal;Stanley I. Grossman

702 CAPÍTULO 4
21. H es un subespacio.
23. H es un subespacio.
25. H no es un subespacio. H no contiene a 0.
27. a) Si A 1
, A 2
∈ H 1
, entonces (A 1
1 A 2
) 11
5
(A 1
) 11
1 (A 2
) 11
5 0 1 0 5 0 y (αA 1
) 11
5
α(A 1
) 11
5 α0 5 0, de manera que H 1
es
un subespacio. Si A 1
, A 2
∈ H 2
, entonces
b a
1 1
A 5 ⎛2
⎞
1 ⎜
⎟
⎝ a b
1 1 ⎠
b a
2 2
A 5 ⎛2
⎞
2 ⎜
⎟
⎝ a b
2 2 ⎠
⎛ b b
1
A 1
1 A 2
5 2( 1 ) ( a 1 a ) ⎞
2 1 2
⎜
⎟
⎝ ( a 1 a ) ( b 1 b ) ⎠
1 2
c d
5 ⎛2
⎞
⎝
⎜
d c⎠
⎟
∈ H . Además,
2
⎛2αb
αa
⎞
1 1
αA 1
5 ⎜
⎟
⎝ αa
αb
⎠
1
1
1 2
⎛ c d ⎞
5 2 ∈ H
⎝
⎜
d c⎠
⎟ 2
y por lo tanto H 2
también es un subespacio.
b) H 5 H 1
∩ H 2
5
⎧⎪
⎛ 0 a⎞
⎨ A ∈ M : A5 22
⎝
⎜
a ⎠
⎟
para algún
⎩⎪
0
escalar a ⎫ ⎬ ⎪ ⎭⎪ . Si A , A ∈ H, entonces
1 2
⎛ 0
A 1
5 ⎜
⎝ a
1
a ⎞
1
⎟ A
0 ⎠
, ⎛ 0 a ⎞
2
5
2 ⎜ A a
⎟ 1
⎝ 0 ⎠
,
⎛ 0 a 1 a ⎞ ⎛
1 2
0
1 A 5 5
2 ⎜
⎝ a 1 a
⎟
0 ⎠ ⎝
⎜
b
1 2
⎛ 0
∈ H y αA 1
5 ⎜
⎝ αa
⎛ 0
⎝
⎜
c
c⎞
0⎠
⎟
∈ H
1
2
αa
⎞
1
⎟ 5
0 ⎠
b⎞
0⎠
⎟
29. Si x 1
, x 2
∈ H, entonces, A(x 1
1 x 2
) 5 Ax 1
1 Ax 2
5 0 1 0 5 0, de manera que x 1
1
x 2
∈ H. Además, A(αx 1
) 5 αAx 1
5 α0 5
0 de manera que αx 1
∈ H y H es un subespacio.
31. Sean u 5 (x 1
, y 1
, z 1
, w 1
) y v 5 (x 2
, y 2
, z 2
, w 2
)
∈ H. Entonces u 1 v 5 (x 1
1 x 2
, y 1
1 y 2
, z 1
1 z 2
, w 1
1 w 2
) y a(x 1
1 x 2
) 1 b(y 1
1 y 2
) 1
c(z 1
1 z 2
) 1 d(w 1
1 w 2
) 5 (ax 1
1 by 1
1 cz 1
1 dw 1
) 1 (ax 2
1 by 2
1 cz 2
1 dw 2
) 5 0 1
0 5 0, de manera que u 1 v ∈ H. Similarmente,
αu 5 (αx 1
, αy 1
, αz 1
, αw 1
) y a(αx 1
)
1 b(αy 1
) 1 c(αz 1
) 1 d(αw 1
) 5 α(ax 1
1 by 1
1 cz 1
1 dw 1
) 5 α0 5 0, de manera que αu
∈ H. Por lo tanto, H es un subespacio.
33. Sean x, y ∈ H. Entonces x 5 u 1
1 v 1
y
u 2
1 v 2
, donde u 1
, u 2
∈ H 1
y v 1
, v 2
∈ H 2
.
Entonces x 1 y 5 (u 1
1 v 1
) 1 (u 2
1 v 2
) 5
(u 1
1 u 2
) 1 (v 1
1 v 2
), Como H 1
y H 2
son
subespacios, u 1
1 u 2
∈ H 1
, y v 1
1 v 2
∈ H 2
,
de manera que x 1 y ∈ H. De igual manera,
αx 5 α(u 1
1 v 1
) 5 αu 1
1 αv 1
. Pero
αu 1
∈ H 1
y αv 1
∈ H 2
, por lo que αx ∈ H y
H es un subespacio.
⎛ x ⎞
⎛ x ⎞
1
2
35. Sean v 1
5 ⎜ ⎟ y v
⎝ y 2
5 ⎜ ⎟ . v
1 ⎠
⎝ y 1
no es un
2 ⎠
múltiplo de v 2
ya que los vectores no son
⎛ x x ⎞
1 2
colineales. Sea A 5 ⎜
⎟ . Entonces
⎝ y y
1 2 ⎠
det A 5 x 1
y 2
2 x 2
y 1
. Si det A 5 0, entonces
x 1
y 2
5 x 2
y 1
, o sea, x 1
/x 2
5 y 1
/y 2
(si x 2
5 0 o y 2
5 0, se puede obtener una
conclusión similar). Sea c 5 x 1
/x 2
5 y 1
/y 2
.
Entonces x 1
5 cx 2
y y 1
5 cy 2
, de manera
que v 1
5 cv 2
lo que contradice lo establecido.
Así, det A ≠ 0. Sea v 5
⎛ x ⎞
⎝
⎜
y⎠
⎟ cualquier
otro vector en 2
. Se quiere encontrar escalares
a y b tales que v 5 av 1
1 bv 2
, o
⎛ x ⎞ ⎛
a x ⎞ ⎛
b x ⎞ ⎛ ax 1 bx ⎞
1
2
1 2
⎝
⎜
y⎠
⎟ 5 ⎜ ⎟ 1 ⎜ ⎟ 5⎜
⎝ y ⎠ ⎝ y ⎠ ay 1 by ⎟
1
2 ⎝ 1 2 ⎠
o sea,
es decir,
⎛ x1
⎜
⎝ y
1
x ⎞
2 a x
⎟ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
5
y ⎠ ⎝ ⎜ b⎠
⎟
⎝
⎜
y⎠
⎟
2
⎛
A a ⎞ ⎛ x ⎞
⎝
⎜
b⎠
⎟ 5
⎝
⎜
y⎠
⎟