lgebra Lineal;Stanley I. Grossman

332 CAPÍTULO 4 Espacios vectoriales
Nota. Este problema fue inspirado por una conferencia dada por Gilbert Strang en la University
of New Hampshire, en junio de 1991.
4.6 BASES Y DIMENSIÓN
2
Se ha visto que en conviene escribir vectores como una combinación lineal de los vectores
i
j
1
0
0
1 0
y
0 3
1
. En se escribieron los vectores en términos de
0
,
1
y
0
. Ahora
0
0
1
se generalizará esta idea.
DEFINICIÓN 1
Base
Un conjunto finito de vectores {v 1
, v 2
, . . . , v n
} es una base para un espacio vectorial V si
i. {v 1
, v 2
, . . . , v n
} es linealmente independiente.
ii. {v 1
, v 2
, . . . , v n
} genera a V.
Ya se han analizado algunos ejemplos de bases. En el teorema 4.5.7, por ejemplo, se vio que
cualquier conjunto de n vectores linealmente independientes en
n
genera a n
. De esta forma,
Todo conjunto de n vectores linealmente independiente en
n
es una base en n
.
En
n
se define
e
1
0
0
0
0
1
0
0
0
, e 0
, e , ,
e
3
1 0
n
o o o o
0
0
0
1
1 2
BASE CANÓNICA
EJEMPLO 1
Puesto que los vectores e i
son las columnas de una matriz identidad (que tiene determinante 1),
{e 1
, e 2
, . . . e n
} es un conjunto linealmente independiente y, por lo tanto, constituye una base
en n
. Esta base especial se denomina base canónica en n
. Ahora se encontrarán bases para
algunos otros espacios.
Base canónica para P n
Por el ejemplo 4.5.9 de la página 322, los polinomios 1, x, x 2 y x 3 son linealmente independientes
en P 3
, para el ejemplo 4.4.3 de la página 300, estos polinomios generan P 3
. Así, {1, x, x 2 , x 3 }
es una base para P 3
. En general, los monomios {1, x, x 2 , x 3 , … , x n } constituyen una base para
P n
. Ésta se denomina la base canónica para P n
.
EJEMPLO 2 Base canónica para M 22
1 0
0 1
0 0
0 0
Se vio en el ejemplo 4.4.6 de la página 300, que
0 0
,
0 0
,
1 0
y
0 1
generan a
c
M 22
. Si
c
1 2
3 4
c 1 0 0 1
c c c
1 2 3
c
0 0
0 0
0 0
1 0
c
4
0 0
0 0
0 1
0 0
, entonces es eviden-