lgebra Lineal;Stanley I. Grossman

240 CAPÍTULO 3 Vectores en R 2 y R 3
V. Proy w
u 5 ______________
a)
u
w
w
b)
w
w
c)
u
w w
w w
d)
u
wu
u u
De los problemas 1 al 10 calcule el producto escalar de los dos vectores y el coseno del ángulo
entre ellos.
1. u = i + j;
v = i − j 2. u = 3i; v = −7j
3. u = 2i23j;
v = 2i13j
4. u = − 5i; v = 18j
5. u = αiv
; = βj; α, β reales 6. u = 24i22j;
v = 5i17j
7. u = 2i + 5 j;
v = 5i + 2j 8. u = 2i + 5j; v = 5i −2j
9. u = − 3i + 4j;
v = −2i −7j
10. u = 4i + 5jv ; = 5i −4j
11. Demuestre que para cualesquiera números reales α y β, los vectores u 5 αi 1 βj y v 5 βi
2 αj son ortogonales.
12. Sean u, v y w tres vectores arbitrarios. Explique por qué el producto u ? v ? w no está definido.
De los problemas 13 al 19 determine si los vectores dados son ortogonales, paralelos o ninguno
de los dos. Después esboce cada par.
13. u = 3i + 5j; v = −6i −10j
14. u = 2i + 3j; v = 6i
−4j
15. u = 2i23j; v = 29i16j
16. u = 2i + 3j;
v = 6i + 4j
17. u = 2i + 3 j; v = − 6i + 4j 18. u 5 7i; v 5 223j
19. u 5 2i 2 4j; v 5 2i 1 3j
20. Sean u 5 3i 1 4j y v 5 i 1 αj. Determine α tal que:
a) u y v son ortogonales. b) u y v son paralelos.
c) El ángulo entre u y v es π/4. d) El ángulo entre u y v es π/3.
21. Sean u 5 22i 1 7j y v 5 αi 22j. Determine α tal que:
a) u y v son ortogonales. b) u y v son paralelos.
c) El ángulo entre u y v es 2 π/3. d) El ángulo entre u y v es π/3.
22. En el problema 20 demuestre que no existe un valor de α para el que u y v tienen direcciones
opuestas.
23. En el problema 21 demuestre que no existe valor de α para el que u y v tienen la misma
dirección.
En los problemas 24 al 37 calcule proy v
u.
24. u 5 3i; v 5 i 1 j 25. u 5 25j; v 5 i 1 j
26. u 5 2i 2 3j; v 5 29i 1 6j 27. u 5 2i 1 j; v 5 i 2 2j
28. u 5 2i 1 3j; v 5 4i 1 j 29. u 5 2i 2 2j; v 5 5i 1 7j
30. u 5 i 1 j; v 5 2i 2 3j 31. u 5 i 1 j; v 5 2i 1 3j
32. u 5 4i 2 j; v 5 22i 1 3j
33. u 5 αi 1 βj; v 5 i 1 j; α y β reales positivos