lgebra Lineal;Stanley I. Grossman

6.2 Un modelo de crecimiento de población (opcional) 547
Se estudiará un modelo de crecimiento de la población para una especie de pájaros. En esta
población se supone que el número de pájaros hembras es igual al número de machos. Sea p j,n21
la población juvenil (inmadura) de hembras en el año (n 2 1) y sea p a,n21
el número de hembras
adultas en el mismo año. Algunos de los pájaros jóvenes morirán durante el año. Se supone que
cierta proporción a de los pájaros jóvenes sobrevivirán para llegar a adultos en la primavera del
año n. Cada hembra que sobrevive produce huevos en la primavera, los incuban y producen, en
promedio, k pájaros hembras jóvenes en la siguiente primavera. Los adultos también mueren y
la proporción de adultos que sobreviven de una primavera a la siguiente es b.
Esta tasa constante de supervivencia de los pájaros no es una suposición simplista. Parece
que ocurre en la mayoría de las poblaciones de pájaros naturales que se han estudiado. Esto
significa que la tasa de supervivencia de los adultos en muchas especies de pájaros es independiente
de la edad. Quizá muy pocos pájaros en su hábitat natural sobreviven lo suficiente para
exhibir los efectos de la edad. Más aún, en muchas especies la edad de la madre parece no
influir en el número de críos.
En la notación introducida p j,n
y p a,n
representan, respectivamente, la población de hembras
jóvenes y adultas en el año n. Incorporando toda la información se llega al siguiente sistema
de 2 3 2:
p j,n
5 kp a,n21
(2)
o
p a,n
5 ap j,n21
1 bp a,n21
p n
5 Ap n21
(3)
⎛ p ⎞
jn ⎛
donde p n
5 ⎜
, k ⎞
⎟ y A5 0
⎝ pan
, ⎠
⎝
⎜
α β ⎠
⎟ . Es evidente de (3) que p 5 1 An p 0
, p 2
5 A n p 1
5 A(Ap 0
) 5 A 2 p 0
, … ,
y así sucesivamente. Entonces,
p n
5 A n p 0 (4)
donde p 0
es el vector de las poblaciones iniciales de hembras jóvenes y adultas.
La ecuación (4) es parecida a la ecuación (1), pero ahora se puede distinguir entre las tasas
de supervivencia de pájaros jóvenes y adultos.
EJEMPLO 1
Una ilustración del modelo aplicado durante 20 generaciones
⎛
Sea A5 0 2 ⎞
⎝
⎜
03 . 05 . ⎠
⎟ . Esto quiere decir que cada hembra adulta produce dos críos hembras y
como se supone que el número de machos es igual al número de hembras, al menos cuatro huevos
—y tal vez muchos más— ya que es probable que las pérdidas de pajaritos recién nacidos
sean altas. Del modelo se ve que a y b están en el intervalo [0, 1]. Como no es tan probable que
sobrevivan los pájaros jóvenes como los adultos, se debe tener a , b.
En la tabla 6.1 se supone que, en un principio, hay 10 hembras (y 10 machos) adultos y
no hay jóvenes. Los cálculos se hicieron en una computadora, pero el trabajo no es demasiado
⎛ 0 2 ⎞ ⎛ 0 ⎞ ⎛
oneroso con una calculadora de bolsillo. Por ejemplo, p 5
1
⎝
⎜
03 . 05 . ⎠
⎟
⎝
⎜
10⎠
⎟ 5 20 ⎞
⎝
⎜
5 ⎠
⎟
de manera
que p j,1
5 20, p a,1
5 5, el total de población de hembras después de un año es 25 y la razón de
⎛ 0 2 ⎞ ⎛ 20⎞
⎛ 10 ⎞
hembras jóvenes a adultos es 4 a 1. En el segundo año p 5
2
⎝
⎜
03 05⎠
⎟
⎝
⎜
5 ⎠
⎟ 5
. . ⎝
⎜
85 . ⎠
⎟ , que se