lgebra Lineal;Stanley I. Grossman

558 CAPÍTULO 6 Valores característicos, vectores característicos y formas canónicas
⎛ c
⎜
c
AC 5 ⎜
⎜ ⋮
⎜
⎝ a
11
21
n1
c
c
a
12
22
⋮
n2
⋯
⋯
⋯
c
c
1n
2n
a
⋮
nn
⎞ ⎛ c
⎟ ⎜
⎟ ⎜
c
⎟ ⎜ ⋮
⎟ ⎜
⎠ ⎝ c
11
21
n1
c
c
c
12
22
⋮
n2
⋯
⋯
⋯
c
c
1n
2n
c
⋮
nn
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
c
1i
c
i
y se ve que la columna i de AC es A
2 5 Av
i
5 λ i
v i
. Así, AC es la matriz cuya columna
i es λ
i
v i
y
c
ni
c
c
AC 5
c
11
21
n1
c
c
c
12
22
n2
c
n 1n
c
n
c
n
2n
nn
Pero
c
c
CD 5
c
11
21
n1
c
c
c
12
22
n2
c
1n
2n
0
c
c 0
nn
0
0
0
0
n
c
c
5
⋮
c
11
21
n1
c
c
c
⋮
12
22
n2
⋯
⋯
⋯
c
n 1n
c
n
c
n
⋮
2n
nn
Entonces
AC 5 CD (4)
y como C es invertible, se pueden multiplicar ambos lados de (4) por la izquierda por
C 21 para obtener
D 5 C 21 AC (5)
Esto prueba que si A tiene n vectores característicos linealmente independientes, entonces
A es diagonalizable. Inversamente, suponga que A es diagonalizable; esto es, suponga
que (5) se cumple para alguna matriz invertible C. Sean v 1
, v 2
, … , v n
las columnas de
C. Entonces AC 5 CD, e invirtiendo los argumentos anteriores, se ve de inmediato que
Av i
5 λ i
v i
para i 5 1, 2, . . . , n. Entonces v 1
, v 2
, . . . , v n
son los vectores característicos de
A y son linealmente independientes porque C es invertible.
Notación. Para indicar que D es la matriz diagonal con componentes diagonales λ 1
, λ 2
, . . . , λ n
,
se escribirá D 5 diag (λ 1
, λ 2
, . . . , λ n
).
El teorema 2 tiene un corolario útil que se deduce directamente del teorema 6.1.3,
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