lgebra Lineal;Stanley I. Grossman

6.4 Matrices simétricas y diagonalización ortogonal 571
y
⎛21 2 21 3 2 2 3⎞
⎜
⎟
Q 5 ⎜21 2 21 3 2 2 3⎟
⎟
⎝
⎜ 0 4 3 2 1 3⎟
⎠
⎛ 21 2 1 2 0 ⎞
⎛ 5 4 2⎞
⎛21 2 21 3 2 2 3⎞
⎜
⎟
t
QAQ5
⎜213 2 213 2 43 2
⎜
⎟ 4 5 2
⎟
⎜
⎟
1 2 1 3 2 2 3
⎜2 2
⎟
⎝
⎜ 23 23 13
⎠
⎟ ⎝
⎜ 2 2 2⎠
⎟
⎝
⎜ 0 4 3 2 1 3⎠
⎟
⎛ 21 2 1 2 0 ⎞ ⎛21 2 213 2 203⎞
⎛ 1 0 0⎞
⎜
⎟ ⎜
⎟
5 ⎜213 2 213 2 43 2⎟
⎜ 1 2 213 2 203⎟
5
⎜
0 1 0
⎟
⎝
⎜ 23 23 13
⎠
⎟
⎝
⎜ 0 4 3 2 10 3 ⎟ ⎠
⎝
⎜ 0 0 10⎠
⎟
TRANSPUESTA
CONJUGADA
MATRIZ
HERMITIANA
MATRIZ
UNITARIA
DEMOSTRACIÓN
DEL TEOREMA 3 ‡
En esta sección se han probado resultados para matrices simétricas reales. Estos resultados
se pueden extender a matrices complejas. Si A 5 (a ij
) es una matriz compleja, entonces la
transpuesta conjugada de A, denotada por A*, está definida por el elemento ij de A* 5 a ji
. La
matriz A se denomina hermitiana † si A* 5 A. Resulta que los teoremas 1, 2 y 3 también son
ciertos para las matrices hermitianas. Todavía más, si se define una matriz unitaria como una
matriz compleja U con U* 5 U 21 , entonces usando la demostración del teorema 4, se puede
demostrar que una matriz hermitiana es diagona lizable unitariamente. Estos hechos se dejan
como ejercicios (vea los problemas 17 a 19 de esta sección).
Se concluye esta sección con una demostración del teorema 3.
Se demostrará que a todo valor característico λ de multiplicidad algebraica k, corresponden k
vectores característicos ortonormales. Este paso combinado con el teorema 2, demostrará el teorema.
Sea u 1
un vector característico de A que corresponde a λ 1
. Se puede suponer que |u 1
| 5 1.
También se puede suponer que u 1
es real porque λ 1
es real y u 1
∈ N A
2 λ 1
I, el espacio nulo de la
matriz real A 2 λ 1
I. Este espacio nulo es un subespacio de
n
por el ejemplo 4.6.10 de la página
337. Después se observa que {u 1
} se puede extender a una base {u 1
, v 2
, v 3
, . . . , v n
} para n
, y
mediante el proceso de Gram-Schmidt esto se puede convertir en una base ortonormal {u 1
,
u 2
, . . . , u n
}. Sea Q la matriz ortogonal cuyas columnas son u 1
, u 2
, . . . , u n
. Por conveniencia de
notación se escribe Q 5 (u 1
, u 2
, . . . , u n
). Ahora bien, Q es invertible y Q t 5 Q 21 , de manera que
A es semejante a Q t AQ, y por el teorema 6.3.1, página 556, Q t AQ y A tienen el mismo polinomio
característico: |Q t AQ 2 λI| 5 |A 2 λI|. Entonces
de manera que
t
QAQ
t
n
Q t
t
⎛ u ⎞
1
⎜ t ⎟
u2
5 ⎜ ⎟ A u , u , ,
u
1 2
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ u ⎠
t
⎛ u ⎞
1
⎜ t ⎟
u2
5 ⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ u ⎠
( )
n
t
n
t
⎛ u ⎞
1
⎜ t ⎟
⎜
u2
5 ⎟
⎜ ⎟
⎜ t ⎟
⎝ u ⎠
n
( u , u , ,
u )
A A A
1 2
n
†
‡
Vea el pie de la página 526.
Si el tiempo lo permite.