lgebra Lineal;Stanley I. Grossman

4.9 Bases ortonormales y proyecciones en R n 405
f ) (Lápiz y papel) Explique de qué forma ilustra este problema el teorema 7 de esta sección,
donde H es gen {v}.
2
4. a) Sea v un vector longitud 1 en la dirección de
1
(divida el vector entre su longitud).
Sea w 5 3
5
, encuentre p, el vector proyección de w sobre v y calcule |w – p|.
b) Elija cualquier valor escalar para c; haga z 5 cv y verifique que |w – z| $ |w – p|. Repita
para otros tres valores de c. Explique la relación entre esto y el teorema 8, donde H es
gen {v}.
⎛ − 3⎞
c) Repita los incisos a) y b) con w = .
⎝
⎜ 2⎠
⎟
d) Repita los incisos a) y b) para vectores v y w arbitrarios.
e) (Lápiz y papel) En el siguiente diagrama esquemático etiquete con p al vector proyección
de w sobre v, y localice w – p y w – z. Explique la manera en que estos diagramas
ilustran la geometría del teorema 8, donde H es el subespacio gen {v}.
w
w
v
z
v
z
5. Proyección sobre un plano en R 3
1
0
a) Sea v
2
y v
1
.
1 2
3
2
Encuentre una base ortonormal {z 1
, z 2
} para el plano dado por gen {v 1
, v 2
} usando el proceso
de Gram-Schmidt.
1
b) (Lápiz y papel) Verifique que z =
2
es perpendicular tanto a v 1
como a v 2
y por lo
1
tanto, es perpendicular a H 5 gen {v 1
, v 2
}. Sea n 5 z/|z|. Explique por qué n es una base
ortonormal para H ' .
c) La definición 4 dice que la proyección de un vector w sobre H está dada por proy H
w 5
(w ? z 1
)z 1
1 (w ? z 2
) z 2
. El teorema 7 dice que w 5 proy H
w 1 proy H
' w, que puede rexpresarse
como proy H
w 5 w 2 proy H
' w.
Para cuatro vectores w de 3 3 1 arbitrarios, calcule proy H
w de las dos maneras y
compare los resultados (nota. Como H ' es de dimensión uno, proy H
' w es igual al vector
proyección de w sobre n).
d) (Lápiz y papel) El siguiente diagrama ilustra la geometría de proy H
w 5 w 2 proy H
' w.
En el diagrama, localice h 5 proy H
' w, bosqueje w – h y verifique que es paralela a p, la
proyección de w sobre el plano.