lgebra Lineal;Stanley I. Grossman

3.5 Rectas y planos en el espacio 273
*31. Calcule la distancia entre las rectas
L x − 2 y − 5 z − 1
L x − 4 y − 5 z + 2
:
1 = = y :
=
2
=
3 2 −1
−4
4 1
[Sugerencia: La distancia se mide a lo largo del vector v que es perpendicular a L 1
y a L 2
. Sea P
un punto en L 1
y Q un punto en L 2
. Entonces la longitud de la proyección de P S Q sobre v
es la distancia entre las rectas, medida a lo largo del vector que es perpendicular a ambas.]
*32. Encuentre la distancia entre las rectas
L x + 2 y − 7 z 2
L x 1 y 2 z 1
: =
= − y :
−
+
=
= +
1 2
3
−4
4
−3
4 1
De los problemas 33 al 50 encuentre la ecuación del plano.
33. P 5 (0, 0, 0); n 5 i 34. P 5 (0, 0, 0); n 5 j
35. P 5 (0, 0, 0); n 5 k 36. P 5 (1, 2, 3); n 5 i 1 j
37. P 5 (1, 2, 3); n 5 i 1 k 38. P 5 (21, 2, 3); n 5 2i 1 3j
39. P 5 (1, 2, 3); n 5 j 1 k 40. P 5 (2, 21, 6); n 5 3i 2 j 1 2k
41. P 5 (24, 27, 50); n 5 23i 2 4j 1 k 42. P 5 (23, 11, 2); n 5 4i 1 j 2 7k
43. P 5 (0, 21, 22); n 5 4j 2 3k 44. P 5 (3, 22, 5); n 5 2i 2 7j 2 8k
45. Contiene a (1, 2, 24), (2, 3, 7) y (4, 21, 3)
46. Contiene a (1, 22, 24), (3, 3, 3) y (0, 0, 21)
47. Contiene a (27, 1, 0), (2, 21, 3) y (4, 1, 6)
48. Contiene a (1, 0, 0), (0, 1, 0) y (0, 0, 1)
49. Contiene a (1, 0, 24), (3, 4, 0) y (0, 22, 1)
50. Contiene a (2, 3, 22), (4, 21, 21) y (3, 1, 2)
Dos planos son ortogonales si sus vectores normales son ortogonales. De los problemas 51 al
57 determine si los planos dados son paralelos, ortogonales, coincidentes (es decir, el mismo) o
ninguno de los anteriores.
51. π 1
: x 1 y 1 z 5 2; π 2
: 2x 1 2y 1 2z 5 4
52. π 1
: x 1 2y 1 3z 5 1; π 2
: 2x 1 4y 1 6z 5 2
53. π 1
: x 2 y 1 z 5 3; π 2
: 23x 1 3y 2 3z 5 29
54. π 1
: 2x 2 y 1 z 5 3; π 2
: x 1 y 2 z 5 7
55. π 1
: 2x 2 y 1 z 5 3; π 2
: x 1 y 1 z 5 3
56. π 1
: 3x 2 2y 1 7z 5 4; π 2
: 22x 1 4y 1 2z 5 16
57. π 1
: 3x 2 2y 1 5z 5 0; π 2
: x 1 4y 2 6z 5 0
De los problemas 58 al 61 encuentre la ecuación del conjunto de todos los puntos de intersección
de los dos planos.
58. π 1
: x 2 y 1 z 5 2; π 2
: 2x 2 3y 1 4z 5 7
59. π 1
: 3x 2 y 1 4z 5 3; π 2
: 24x 2 2y 1 7z 5 8