lgebra Lineal;Stanley I. Grossman

480 CAPÍTULO 5 Transformaciones lineales
Ahora se puede demostrar que A T
es única. Suponga que Tx 5 A T
x y que Tx 5 B T
x
para todo x ∈ n
. Entonces A T
x 5 B T
x, o estableciendo C T
5 A T
2 B T
, se tiene que
C T
x 5 0 para todo x P n
. En particular, C T
e i
5 0 para i 5 1, 2, . . . , n. Pero como se
deduce de la demostración de la primera parte del teorema, C T
e i
es la columna i de C T
.
Así, cada una de las n columnas de C T
es el m-vector cero, la matriz cero de m 3 n. Esto
muestra que A T
5 B T
y el teorema queda demostrado.
Observación 1. En este teorema se supone que todo vector en
n
y
m
está expresado en términos
de los vectores de la base estándar en esos espacios. Si se eligen otras bases para
n
y m
,
por supuesto, se obtendrá una matriz A T
diferente. Para ilustrar este caso, vea el ejemplo 4.8.1
de la página 371 o más adelante, el ejemplo 8.
Observación 2. La demostración del teorema muestra que es sencillo obtener A T
como la matriz
cuyas columnas son los vectores Te i
.
DEFINICIÓN 1
Matriz de transformación
La matriz A T
en el teorema 1 se denomina matriz de transformación correspondiente a T
o representación matricial de T.
Nota. La matriz de transformación A T
está definida usando las bases estándar tanto en n
como en m
. Si se utilizan otras bases, se obtendrá una matriz de transformación diferente. Vea
el teorema 3 de la página 482.
En la sección 5.2 se definieron la imagen, el rango, el núcleo y la nulidad de una transformación
lineal. En la sección 4.7 se definieron la imagen, el rango, el espacio nulo y la nulidad de una
matriz. La prueba del siguiente teorema es consecuencia del teorema 1 y se deja como ejercicio
(vea el problema 44 de esta sección).
TEOREMA 2
Sea A T
la matriz de transformación correspondiente a la transformación lineal T. Entonces
i. Im T 5 Im A 5 C AT
ii. r(T) 5 r(A T
)
iii. nu T 5 N AT
iv. ν(T) 5 ν(A T
)
EJEMPLO 1
Representación matricial de una transformación de proyección
Encuentre la matriz de transformación A T
correspondiente a la proyección de un vector en
3
sobre el plano xy.
Solución
⎛ x ⎞ ⎛ x ⎞
⎛ 1⎞
⎛ 1⎞
⎛ 0⎞
⎛ 0⎞
Aquí T
⎜
y
⎟
5
⎜
y
⎟
. En particular, T
⎜
0
⎟
5
⎜
0
⎟
, T
⎜
1
⎟
5
⎜
1
⎟
⎝
⎜ z ⎠
⎟
⎝
⎜ 0 ⎠
⎟
⎝
⎜ 0⎠
⎟
⎝
⎜ 0⎠
⎟
⎝
⎜ 0⎠
⎟
⎝
⎜ 0⎟
⎠
⎛
⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎛ 0⎞
⎛ 0⎞
y T
⎜
0
⎟
5
⎜
0
⎟
. Así,
⎝
⎜ 1⎠
⎟
⎝
⎜ 1⎠
⎟