lgebra Lineal;Stanley I. Grossman

532 CAPÍTULO 6 Valores característicos, vectores característicos y formas canónicas
A continuación se darán más ejemplos del cálculo de los valores y vectores característicos
para matrices que no son triangulares.
EJEMPLO 8
Una matriz de 2 3 2 con un valor característico y dos vectores característicos
linealmente independientes
⎛ 4 0⎞
4
Sea A5 A2 I 5 2 0
⎝
⎜
0 4⎠
⎟ . Entonces det ( λ )
λ
0 42 λ
5
2
( λ 24)
50; así, λ 5 4 es un valor
característico de multiplicidad algebraica 2. Como A 5 4I, se sabe que Av 5 4v para todo vec-
⎧
2
⎪⎛
1⎞
tor v ∈ de manera que E 4
5 R 2 5 gen ⎨ ,
⎝
⎜
0⎠
⎟
⎩⎪
⎛ 0⎞
⎫⎪
⎝
⎜
1⎠
⎟ ⎬
⎭⎪ .
EJEMPLO 9
EJEMPLO 10
Una matriz de 2 3 2 con un valor característico
y sólo un vector característico independiente
Sea A 5 ⎛ 4 1⎞
. ( A 2 I)
5 4 2 1
⎝
⎜
0 4⎠
⎟ Entonces det λ λ
0 4 2 λ
2
5( λ 24)
50; así, λ 5 4 es un valor ca-
⎛ 0 1⎞
⎛ x ⎞ ⎛
1
x ⎞
2
racterístico de multiplicidad algebraica 2. Pero esta vez se tiene ( A2 4I)
v 5 5
⎝
⎜
0 0⎠
⎟ ⎜
⎝ x
⎟
2 ⎠ ⎝
⎜
0 ⎠
⎟ .
1
Por lo tanto x 2
50, v ⎛ ⎞
1
⎝ ⎜ 0⎠
⎟ es un vector propio y E ⎧⎪
⎛1
⎞ ⎫⎪
5 gen .
4
⎨
⎝
⎜
0⎠
⎟ ⎬
⎩⎪ ⎭⎪
Una matriz de 3 3 3 con dos valores característicos y tres vectores
característicos linealmente independientes
⎛ 3 2 4⎞
Sea A5
⎜
2 0 2
⎟
. Entonces det (A2 λI ) 5
⎝
⎜ 4 2 3⎠
⎟
32
λ 2 4
2 2λ 2
4 2 32
λ
52λ 3 16λ 2 115λ18 † 5
2( λ 11) 2 ( λ 28) 50
de manera que los valores característicos son λ 1
5 8 y λ 2
5 21 (con multiplicidad
algebraica 2). Para λ 1
5 8, se obtiene
o reduciendo por renglones, se tiene
⎛25 2 4⎞
⎛ x ⎞ ⎛ 0⎞
1
( A28I)
v 5
⎜
2 28 2
⎟ ⎜
x
⎟
5
⎜
0
⎟
2
⎝
⎜ 4 2 25⎠
⎟
⎝
⎜ x ⎠
⎟
⎝
⎜ 0⎠
⎟
3
⎛25 2 4 | 0⎞
⎛ 25 2 4 | 0⎞
⎜
2 28 2 | 0
⎟
⎯⎯⎯→
⎜
218 0 18 | 0
⎟
⎝
⎜ 4 2 25
| 0⎠
⎟
⎝
⎜ 9 0 29
| 0⎠
⎟
⎛25 2 4 | 0⎞
⎛ 0 2 21
⎯⎯⎯→
⎜
21 0 1 | 0
⎟
⎯⎯⎯→
⎜
21 0 1
⎝
⎜ 9 0 29
| 0⎠
⎟
⎝
⎜ 0 0 0
|
|
|
0⎞
0
⎟
0⎠
⎟
†
Este cálculo no es obvio pero sí sencillo de realizar. No se dan los detalles algebraicos para un determinante de 3 3 3.
De aquí en adelante se seguirá esta política.