lgebra Lineal;Stanley I. Grossman

126 CAPÍTULO 1 Sistemas de ecuaciones lineales y matrices
1 1
( cR )
2 5
c R
(4)
i
i
21
( R 1cR)
5R 2cR
j i j i
(5)
( P ) 21 5 P
(6)
ij
ij
La ecuación (6) indica que
Toda matriz de permutación elemental es su propia inversa.
Resumiendo los resultados:
Tabla 1.4
Matriz
elemental
tipo E
Efecto de
multiplicar A
por la izquierda
por E
Representación
simbólica de
las operaciones
elementales
Al multiplicar
por la izquierda,
E -1 hace lo
siguiente
Representación
simbólica de
la operación
inversa
Multiplicación
Multiplica el
renglón i de A por
c ≠ 0
cR i
Multiplica el
renglón i de A
por 1 c
1
c R i
Suma
Multiplica el
renglón i de A
por c y lo suma al
renglón j
R j
1 cR i
Multiplica el
renglón i de A por
2c y lo suma al
renglón j
R j
2 cR i
Permutación
Permuta los
renglones i y j
de A
P ij
Permuta los
renglones i y j
de A
P ij
TEOREMA 2
Toda matriz elemental es invertible. El inverso de una matriz elemental es una matriz
del mismo tipo.
Nota. El inverso de una matriz elemental se puede encontrar por inspección. No es necesario
realizar cálculos.
TEOREMA 3
DEMOSTRACIÓN
Una matriz cuadrada es invertible si y sólo si es el producto de matrices elementales.
Sea A 5 E 1
,E 2
, . . . , E m
donde cada E i
es una matriz elemental. Por el teorema 2,
cada E 1
es invertible. Más aún, por el teorema 1.8.3, página 96, A es invertible 16 y
16
Aquí se usó le generalización del teorema 1.8.3 para más de dos matrices. Vea, por ejemplo, el problema 1.8.22 en
la página 109.