lgebra Lineal;Stanley I. Grossman

Números complejos 637
Pero tan 21 x está definida como un número en el intervalo (2π/2, π/2). De la figura A.5f, θ está en
el segundo cuadrante, por lo que se ve que arg z 5 π 2 tan 21 (3.5) ≈ 1.8491. Después se ve que
Así,
2 2
2217i 5 ( 22)
17 5 53
2217 53 1 .
i e
8491 i
≈
EJEMPLO 6 Convierta los siguientes números complejos de la forma polar a la forma cartesiana i) 2e i π/3 ;
ii) 4e 3πi/2 .
π/
Solución i. 3 5
e i
1
iπ/
3
cos π 31isen π 35 1 32i. 2e 511
3i.
2
( ) Entonces
ii. e 3 πi/
2
3π i/
2
5cos 3π 2 1isen 3π 2 501i( 21) 52i.
Entonces 4e
524i.
Si θ 5 arg z, entonces por la ecuación (12), arg z – 5 2 θ. Así, puesto que | – z| 5 |z|,
Si z 5 re iθ , entonces z _ 5 re 2iθ (16)
Suponga que se escribe un número complejo en su forma polar z 5 re iθ . Entonces
z n 5 (re iθ ) n 5 r n (e iθ ) n 5 r n e inθ 5 r n (cos nθ 1 i sen nθ) (17)
La fórmula (17) es útil para muchos cálculos. En particular, cuando r 5 |z| 5 1, se obtiene la
fórmula de De Moivre. †
fórmula de De Moivre
(cos θ 1 i sen θ) n 5 cos nθ 1 i sen nθ
(16)
EJEMPLO 7 Calcule (1 1 i) 5 .
Solución En el ejemplo 5iv) se mostró que 1 1 i 5 2
( ) ( )
( 11i)
5 2e π i/
5 2
5 4 5
4
e π i/
5
. Entonces
5πi/
4
⎛ 5π 5π
⎞
e 54 2
⎝
⎜ cos 1isen
4 4 ⎠
⎟
5 ⎛ 1
4 2
⎝
⎜ 2 2
2
1
2 i ⎞
⎠
⎟ 5242
4i
†
Abraham de Moivre (1667-1754) fue un matemático francés conocido por su trabajo sobre teoría de probabilidad, series
infinitas y trigonometría. Su reconocimiento era tal que Newton con frecuencia decía a quienes le hacía preguntas
sobre matemáticas, “vayan con De Moivre; él sabe esas cosas mejor que yo”.