lgebra Lineal;Stanley I. Grossman

6.8 Una perspectiva diferente: los teoremas de Cayley-Hamilton y Gershgorin 613
Problemas 6.8
A UTOEVALUACIÓN
I. ¿Qué ecuación se satisface por 5 1 3
A ⎛ ⎞
⎝ ⎜ 0 2⎠
⎟ ?
2
a) A 23A12I 50
2
b) A 22A50
2
c) A 12A23I 50 2
d) A 13A12I
50
⎛ 2 21
4⎞
II. Según el teorema de Gershgorin, los valores característicos de
⎜
3 2 5
⎟
se encuentran
⎝
⎜ 3 4 2⎠
⎟
dentro de las circunferencias con centro en (2, 0) cuyo radio mayor es ________.
a) 7 b) 8 c) 34 d) 10
De los problemas 1 al 9: a) encuentre la ecuación característica p(λ) 5 0 de la matriz dada; b)
verifique que p(A) 5 0; c) utilice el inciso b) para calcular A 21 .
1.
⎛22
⎝
⎜
25
22
⎞
⎛ 2
1⎠
⎟ 2. ⎝
⎜
5
21⎞
22
⎠
⎟ 3.
⎛ 1
⎜
21
⎝
⎜ 0
21
2
21
0⎞
21
⎟
1⎠
⎟
4.
⎛ 1
⎜
0
⎝
⎜21
2
2
2
2⎞
1
⎟
2⎠
⎟
5.
⎛ 0
⎜
0
⎝
⎜1
1
0
23
0⎞
1
⎟
3⎠
⎟
6.
⎛23
27
25⎞
⎜
2 4 3
⎟
⎝
⎜ 1 2 2⎠
⎟
7.
⎛ 2
⎜
4
⎝
⎜ 1
21
1
5
3⎞
6
⎟
3⎠
⎟
8.
⎛ 1
⎜
2
⎜
⎜21
⎜
⎝ 4
0
21
0
1
1
0
0
21
0⎞
2
⎟
⎟
1 ⎟
⎟
0⎠
9.
⎛ a
⎜
0
⎜
⎜ 0
⎜
⎝ 0
b
a
0
0
0
c
a
0
0 ⎞
0
⎟
⎟ ; bcd ≠ 0
d⎟
⎟
a ⎠
De los problemas 10 al 14 dibuje las circunferencias de Gershgorin para la matriz dada A y
encuentre una cota para |λ| si λ es un valor característico de A.
10.
⎛ 2
⎜ 1
2
⎝
⎜ 1
1
5
0
0⎞
1 ⎟
2
6⎠
⎟
11.
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝2
3
0
1
3
1
2
1
2 2
1
2
3
6 1
2 5
1
3
1
4
2
1
4
0⎞
0
⎟
⎟
1
⎟
3
⎟
4⎠
12.
⎛1
⎜
2
⎜
⎜ 3
⎜
⎝ 0
3
5
21
2
21
0
6
3
4⎞
27
⎟
⎟
1⎟
⎟
4⎠
⎛ 27
⎜ 1
10
13. ⎜
2
⎜ 1
2
4
⎜
⎝ 0
1
5
210
1
4
21
1 2
2 ⎞
5 5
1 3 ⎟
10 10 ⎟
1
5 ⎟
4
⎟
0 4⎠
14.
⎛ 3
⎜ 1
⎜ 2
⎜
1
10
⎜
⎜ 21
⎜ 1
2
1
⎝
⎜2
4
2
0
5
1
5
0
0
1
4
2
2
2
1
3
1
2
4
0
1
2
1
4
1
3
0
3
5
23
0
0
2
2
0
1
1
5
0
2
1
4
1
⎞
3
⎟
0
⎟
1 ⎟
10
⎟
0 ⎟
1 ⎟
2
0 ⎠
⎟