lgebra Lineal;Stanley I. Grossman

1.11 Factorizaciones LU de una matriz 141
y
⎛ 0 0 1⎞
P 5 ⎜
0 1 0
⎟
1 ⎝
⎜ 1 0 0⎠
⎟
⎛ 1 0 0⎞
y P
⎜ ⎟
2
5 0 0 1
⎝
⎜ 0 1 0⎠
⎟
Esta matriz se puede reducir a una forma triangular superior sin permutaciones. Se tiene
⎛ 1 0 0⎞
⎛ 0 0 1⎞
⎛ 0 0 1⎞
P5PP
2 1
5
⎜
0 0 1
⎟ ⎜
0 1 0
⎟
5
⎜
1 0 0
⎟
⎝
⎜ 0 1 0⎠
⎟
⎝
⎜ 1 0 0⎠
⎟
⎝
⎜ 0 1 0⎠
⎟
Así, como en el ejemplo 1.
⎛ 0 0 1⎞
⎛ 0 2 3⎞
⎛ 1 22 5⎞
PA5
⎜
1 0 0
⎟ ⎜
2 24 7
⎟
5
⎜
0 2 3
⎟
.
⎝
⎜ 0 1 0⎠
⎟
⎝
⎜ 1 22 5⎠
⎟
⎝
⎜ 2 24 27⎠
⎟
Al generalizar el resultado del ejemplo 3 se obtiene el siguiente teorema.
TEOREMA 3
Sea A una matriz invertible de n 3 n. Entonces existe una matriz de permutación P tal
que
PA 5 LU
donde L es una matriz triangular inferior con unos en la diagonal y U es triangular superior.
Para cada P (puede haber más de una), las matrices L y U son únicas.
Nota. Si se elige una P diferente se obtienen matrices diferentes. Si consideramos el ejemplo 3,
sea
⎛ 0 1 0 ⎞
P 5 ⎜
⎟
1 0 0 (que corresponde a la permutación de los dos primeros renglones en el pri-
⎝
⎜ 0 0 1 ⎠
⎟ mer paso).
Se debe verificar que
⎛ 1 0 0⎞
⎛ 2 24 7⎞
P* A5LU
5
⎜
0 1 0
⎟ ⎜
0 2 3
⎟
1 1
⎝
⎜ 1
0 1⎠
⎟
3
⎝
⎜ 0 0 ⎠
⎟
2
2
SOLUCIÓN DE UN SISTEMA USANDO LA FACTORIZACIÓN PA 5 LU
Considere el sistema Ax 5 b y suponga que PA 5 LU. Entonces
PAx 5 Pb
LUx 5 Pb
y se puede resolver este sistema de la misma manera que en el ejemplo 2.