lgebra Lineal;Stanley I. Grossman

390 CAPÍTULO 4 Espacios vectoriales
Figura 4.5
u v
El vector w = u 2 ⋅ v
2
v
es ortogonal a v.
y
u
⎛
u 2
u ⋅ v ⎞
⎜ ⎟
⎝
⎜ v 2
⎠
⎟ v 5 w
0
v
u ⋅ v
v5proy u
v 2 v
x
entonces
v 2
u 1
v 2
u 1
( v 2
u 1
)( u 1
u ) v u ( vu 1
)1
0
1 2 1
de manera que v9 2
es ortogonal a u 1
. Más aún, por el teorema 1, u 1
y v9 2
son linealmente
( v u )
2 1
independientes. v9 2
≠ 0 porque de otra manera v 2
( v u 1
) u 1
v
v
1
, lo que contradice
la independencia de v 1
2
1
y v 2
.
Paso 3. Elección de un segundo vector unitario
Sea
u
2
v 2
v
2
(14)
entonces es evidente que {u 1
, u 2
} es un conjunto ortonormal.
Suponga que se han construido los vectores u 1
, u 2
, . . . u k
(k , m) y que forman un
conjunto ortonormal. Se mostrará cómo construir u k11
.
Paso 4. Continuación del proceso
Sea
v v ( v u ) u v u u p
+1
+1 1 1 +
entonces para i 5 1, 2, . . . , k
(15)
v u v u ( v u )( u u ) ( v u
)( u u )
k+1 i k+1 i k+1 1 1 i k+1 2 2 i
p ( v u )( u u ) p ( v u )( u u i i k k i
)
k+1 1 k+1
Pero u j
? u i
5 0 si j ≠ i y u i
? u i
5 1. Por lo tanto,
v u v u v u
0
k+1 i k1
i k+1 i
Así, {u 1
, u 2
, . . . u k
, v9 k11
} es un conjunto linealmente independiente, ortogonal y v9 k11
≠ 0.
Paso 5
Sea u k11
5 v9 k11
/|v9 k11
|. Entonces es claro que {u 1
, u 2
, . . ., u k
, u k11
} es un conjunto ortonormal
y se puede continuar de esta manera hasta que k 11 5 m con lo que se completa
la prueba.
Nota. Como cada u i
es una combinación lineal de vectores v i
, gen {u 1
, u 2
, . . ., u k
} es un
subespacio de gen {v 1
, v 2
, . . . , v n
} y como cada espacio tiene dimensión k, los espacios
son iguales.