lgebra Lineal;Stanley I. Grossman

100 CAPÍTULO 1 Sistemas de ecuaciones lineales y matrices
TEOREMA 4
Sea A 5 una matriz de 2 3 2. Entonces
iii. A es invertible si y sólo si det A Z 0.
iii. Si det A Z 0, entonces
A
1 ⎛ a
det A
⎜
⎝2a
2a
⎞
a
⎟
⎠
2 1 22 12
5
21 11
(12)
DEMOSTRACIÓN
Primero, suponga que det A Z 0 y sea B 5
1 ⎛ a 2a
⎞ ⎛ a
22 12
BA5
det A ⎝ ⎜ 2a
a
⎟ ⎜
⎠ ⎝ a
21 11
a
11 12
a
21 22
⎞
⎟
⎠
⎛ a ( 1det A ) 22
2a
⎞
12
⎜
⎝2a
a
⎟
⎠
. Entonces
21 11
5
a a
1
2 a a
11 22 12 21
⎛ a a
22
⎜
⎝
2 a a
11 12 21
0
0
2a a 1a a
21 12 11 22
⎞ ⎛ 1 0⎞
⎟ 5
⎠ ⎝
⎜
0 1⎠
⎟ 5 I
De manera similar, AB 5 I, lo que muestra que A es invertible y que B 5 A 21 . Todavía
debe demostrarse que si A es invertible, entonces det A Z 0. Para esto, se considera el
sistema
a 11
x 1
1 a 12
x 2
5 b 1
a 21
x 1
1 a 22
x 2
5 b 2
(13)
Se lleva a cabo de esta forma porque del teorema de resumen (teorema 1.2.1, página
5) se sabe que si este sistema tiene una solución única, entonces a 11
a 22
2 a 12
a 21
≠ 0. El
sistema se puede escribir en la forma
Ax 5 b (14)
⎛ x ⎞ ⎛ b ⎞
1
1
con x5⎜
b5
⎝ x
⎟ y ⎜
b
⎟ . Entonces, como A es invertible, se ve de (2) que el sistema (14)
2 ⎠ ⎝ 2 ⎠
tiene una solución única dada por
x 5 A 21 b
Pero por el teorema 1.2.1, el hecho de que el sistema (13) tenga una solución única implica
que a 11
a 22
2 a 12
a 21
5 det A Z 0. Esto completa la prueba.
Nota. La fórmula (12) se puede obtener directamente aplicando el procedimiento para calcular
una inversa (ver el problema 54).
EJEMPLO 4 Cálculo de la inversa de una matriz de 2 x 2
Solución
⎛ 2 24⎞
Sea A5
⎝
⎜
1 3⎠
⎟ . Calcule A21 si existe.
Se encuentra que det A 5 (2)(3) 2 (24)(1) 5 10; por lo tanto A 21 existe. De la ecuación (12) se
tiene