lgebra Lineal;Stanley I. Grossman

Respuestas a los problemas impares 721
MATLAB 4.10
1. b) u 5 (2.9535 21.1813)9; por lo tanto,
la recta es y 5 2.9535 2 1.1813x.
c) Utilice el comando norm de MATLAB.
|y 2 Au| 5 4.066 y |y 2 Aw| 5 2.9712.
La suma de los cuadrados de las diferencias
en las coordenadas y entre la
recta de mínimos cuadrados y los puntos
es menor que si se usa cualquier
otra recta.
d) Recuerde que proy H
y 5 BB t y.
e) y 5 2.4722.
3. g ≈ 230.6364, va ≈ 60.9470 y la altura sobre
el suelo es ≈ 10.8977.
5. a) El ajuste de recta es y 5 2.1942 1
1.1921x con la norma del error de
mínimos cuadrados igual a .4419. El
ajuste cuadrático es y 5 2.0423 2
.7078x 25.7751x 2 , con la norma del
error de mínimos cuadrados igual a
.1171. El ajuste cuadrático es un poco
mejor: la norma es más pequeña y los
puntos * parecen más cercanos al ajuste
cuadrático.
b) El ajuste de recta es y 5 35.9357
283.4269x, con la norma del error de
mínimos cuadrados igual a 25.3326.
El ajuste cuadrático es y 5 41.5798 2
51.2577x 59.5481x 2 con la norma del
error de mínimos cuadrados igual a
15.2469. En apariencia el ajuste cuadrático
es mejor: la norma es más pequeña
y los puntos * se ven mucho más cercanos
al ajuste. Sin embargo, observe que
un punto se puede considerar disperso.
7. El ajuste de recta es y 5 40.8537 1 .0066x
y el ajuste cuadrático es y 5 278 1 .32x
2.0002x 2 . El ajuste cuadrático parece
mejor, y con esto se puede concluir que el
producto será más fuerte si la temperatura
es de 8 000.
9. La recta de mínimos cuadrados es
y520. 34184x10.
16454
Con x la fracción molecular de Ca y y el
coeficiente de distribución Fe-Mg.
Problemas 4.11, página 439
1. i) (A, A) 5 a 2 11 1 a2 22 1 . . . 1 a2 nn $ 0.
ii) (A, A) 5 0 implica que a 2 ii 5 0 para i 5
1, 2, . . . , n de manera que A 5 0. Si A
5 0, entonces (A, A) 5 0.
iii) (A, B 1 C) 5 a 11
(b 11
1 c 11
) 1 . . . 1
a nn
(b nn
1 c nn
) 5 a 11
b 11
1 a 11
c 11
1 . . . 1
a nn
b nn
1 a nn
c nn
5 (a 11
b 11
1 . . . 1 a nn
b nn
)
1 (a 11
c 11
1 . . . 1 a nn
c nn
) 5 (A, B) 1
(A, C).
iv) Similarmente (A 1 B, C) 5 (A, C) 1
(B, C).
v) (A, B) 5 (B, A) 5 ( — B, A), ya que todos
los elementos son reales y a ii
b ii
5
b ii
a ii
.
vi) (αA, B) 5 (αa 11
)b 11
1 . . . 1 (αa nn
)b nn
5 α [a 11
b 11
1 . . . 1 a nn
b nn
] 5 α (A, B).
vii) (A, αB) 5 ( — αB, A) 5 (αB, A) 5
α(B, A) 5 α ( — A, B) 5 α (A, B)
3. Sea E i
la matriz de n 3 n con un 1 en la
posición i, i y 0 en otra parte. Es sencillo
ver que {E 1
, E 2
, . . . , E n
} es una base ortonormal
para D n
.
5.
7.
⎧⎪
⎛
⎨⎜
⎩⎪ ⎝
1 i ⎞ ⎛ i
, ⎟ , ⎜ ,
2 2 ⎠ ⎝ 2
1 ⎞ ⎫⎪
⎟ ⎬
2 ⎠ ⎭⎪
⎧⎪
1 3 5
2 2 8 3 2
⎨ , x, ( x 2 1 ⎫⎪
) ⎬
⎩⎪
⎭⎪
9. Primero observe que si A 5 (a ij
), y B t 5
(b ji
), entonces
t
( AB ) 5
n
∑
a a
ij ik jk
k51