lgebra Lineal;Stanley I. Grossman

2.4 Determinantes e inversas 207
TEOREMA 3 Sea A una matriz de n 3 n. Entonces A es invertible si y sólo si det A ? 0. Si det A ? 0,
entonces
A
adj A
(8)
det A
1 1
Observe que el teorema 1.8.4, en la página 100, para matrices de 2 3 2 es un caso especial
de este teorema.
DEMOSTRACIÓN
La primera parte de este teorema es el teorema 2.3.2. Si det A ? 0, entonces se demuestra
que (1/det A)(adj A) es la inversa de A multiplicándola por A y obteniendo la matriz
identidad:
teorema 2
⎛
( A)
1 ⎞
adj A
1 [ ( )] (det
det A det A A adj A 1
⎝
⎜
⎠
⎟ 5 5 det A
AI ) 5 I
Pero por el teorema 1.8.7, de la página 107, si AB 5 I, entonces B 5 A 21 . Así,
(1/det A)adj A 5 A 21
EJEMPLO 4
Uso del determinante y la adjunta para calcular la inversa
2 4 3
Sea A
0 1 1
. Determine si A es invertible y, de ser así, calcule A 21 .
3 5 7
Solución Como det A 5 3 ? 0 se ve que A es invertible. Del ejemplo 1
Así
Verificación