lgebra Lineal;Stanley I. Grossman

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66 CAPÍTULO 1 Sistemas de ecuaciones lineales y matrices y ⎛23⎞ ⎛ 1⎞ ⎛22 ⎞ ⎜ 10 ⎟ 51 ⎜ 2 ⎟ 1 2 ⎜ 4 ⎟ 5 una combinación lineal de las columnas de A ⎝ ⎜ 13⎠ ⎟ ⎝ ⎜ 3⎠ ⎟ ⎝ ⎜ 5⎠ ⎟ ⎛215⎞ ⎛ 1⎞ ⎛22 ⎞ ⎜ 26 ⎟ 521 ⎜ 2 ⎟ 17 ⎜ 4 ⎟ 5 una combinación lineal de las columnas de A. ⎝ ⎜ 32⎠ ⎟ ⎝ ⎜ 3⎠ ⎟ ⎝ ⎜ 5⎠ ⎟ MULTIPLICACIÓN DE MATRICES POR BLOQUES En ciertas situaciones es prudente manejar las matrices como bloques de matrices más pequeñas, llamadas submatrices, y después multiplicar bloque por bloque en lugar de componente por componente. La multiplicación en bloques es muy similar a la multiplicación normal de matrices. EJEMPLO 8 Multiplicación por bloques Considere el producto ⎛ 1 21 2 4⎞ ⎛ 1 4 3⎞ ⎜ 2 0 4 5 ⎟ ⎜ 2 21 0 ⎟ AB 5 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 1 1 2 23⎟ ⎜23 2 1⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝22 3 5 0⎠ ⎝ 0 1 2⎠ El lector debe verificar que este producto esté definido. Ahora se realiza una partición de estas matrices mediante líneas punteadas. ⎛ 1 21 | 2 4⎞ ⎛ 1 4 | 3 ⎞ ⎜ 2 0 | 4 5 ⎟ ⎜ 2 21 | 0 ⎟ ⎛ C | D ⎞ ⎛ G | H ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ AB 5⎜22 22 | 22 22⎟ ⎜22 22 | 22⎟ 5 ⎜ 22 | 22 ⎟ ⎜ 22 | 22 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 1 1 | 2 23 23 2 | 1 ⎝ ⎜ E | F ⎠ ⎟ ⎝ ⎜ J | K ⎠ ⎟ ⎝ ⎜ 22 3 | 5 0⎠ ⎟ ⎝ ⎜ 0 1 | 2 ⎠ ⎟ ⎛ 1 21⎞ ⎛ 1⎞ Existen otras maneras de formar la partición. En este caso C5 ⎝ ⎜ ⎠ ⎟ , K5 2 0 ⎝ ⎜ 2⎠ ⎟ y así sucesivamente. Si suponemos que todos los productos y las sumas de matrices están definidos, se puede multiplicar de manera normal para obtener Ahora y ⎛CG 1DJ | CH 1DK ⎞ ⎛ C D⎞ ⎛G H ⎞ AB 5 5 ⎜ 22222 22 ⎝ ⎜ E F ⎠ ⎟ ⎝ ⎜ J K ⎠ ⎟ | 222 ⎟ ⎝ ⎜ EG 1FJ | EH 1FK ⎠ ⎟ 2 CG 5 ⎛ 1 1⎞ ⎛ 1 4⎞ ⎛ 1 5⎞ ⎛ 2 4⎞ ⎛ 3 2⎞ ⎝ ⎜ 2 0⎠ ⎟ ⎝ ⎜ 2 21⎠ ⎟ 5 2 2 ⎛ ⎞ ⎝ ⎜ 2 8⎠ ⎟ , DJ 5 ⎝ ⎜ 4 5⎠ ⎟ ⎝ ⎜ 0 1⎠ ⎟ 5 2 6 8 ⎝ ⎜ 212 13⎠ ⎟ ⎛ ⎞ 1 5 2 7 13 CG DJ ⎝ ⎜ 210 21⎠ ⎟ .
1.6 Productos vectorial y matricial 67 De manera similar ⎛ 1 1⎞ ⎛ 3⎞ ⎛ 3⎞ ⎛ 2 23⎞ ⎛ 2⎞ ⎛ 4⎞ EH 5 5 5 ⎝ ⎜ 22 3⎠ ⎟ ⎝ ⎜ 0⎠ ⎟ ⎝ ⎜ 2 6⎠ ⎟ , FK ⎝ ⎜ 5 0⎠ ⎟ ⎝ ⎜ ⎠ ⎟ 5 2 1 ⎝ ⎜ 5⎠ ⎟ y ⎛ 1⎞ EH 1FK 5 2 ⎝ ⎜ 21⎠ ⎟ ⎛ 13⎞ El lector debe verificar que CH 1 DK 5 ⎝ ⎜ 20⎠ ⎟ y ⎛ 3 4⎞ EG 1FJ 5 2 ⎝ ⎜ 211 21⎠ ⎟ de manera que ⎛ 27 13 | 13 ⎞ ⎛CG 1 DJ | CH 1 DK ⎞ ⎜ 210 21 | 20 ⎟ ⎛ 27 13 13⎞ ⎜ ⎟ ⎜ AB 5 ⎜ 22222 | 22222 ⎟ 210 21 20 ⎟ 5 ⎜ 22 22 | 22⎟ 5 ⎜ ⎟ ⎝ ⎜ EG 1FJ | EH 1FK ⎠ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 23 4 21⎟ 23 4 | 21 ⎜ ⎟ ⎝ ⎜211 21 | 21 ⎠ ⎟ ⎝211 21 21⎠ Ésta es la misma respuesta que se obtiene si se multiplica AB directamente. Cuando se hace una partición de dos matrices y, al igual que en el ejemplo 8, todos los productos de submatrices están definidos, se dice que la partición es conformante. EJEMPLO 9 Dos matrices que son conmutativas Suponga que las matrices A y B son cuadradas y que se hacen particiones confortantes de ⎛ I A⎞ ⎛ I B⎞ C 5 D 5 ⎝ ⎜ O I ⎠ ⎟ y ⎝ ⎜ O I ⎠ ⎟ . Muestre que C y D son conmutativas. Aquí O denota la matriz cero e I es una matriz cuadrada que tiene la propiedad de que AI 5 IA 5 A siempre que estos productos estén definidos (vea la página 95). Solución I A I CD 5 ⎛ ⎞ ⎛ ⎝ ⎜ O I⎠ ⎟ ⎝ ⎜ O 2 B⎞ ⎛ I 1A⋅ O IB1AI ⎞ ⎛ I B1 A⎞ I⎠ ⎟ 5⎜ ⎟ 5 2 ⎝ O⋅I 1I ⋅O O⋅B1I ⎠ ⎝ ⎜ O I ⎠ ⎟ en donde I 2 5 I ? I. Del mismo modo 2 ⎛ I B⎞ ⎛ I A⎞ ⎛ I 1B⋅ O IA1BI ⎞ ⎛ I A1 B⎞ DC 5 ⎝ ⎜ O I⎠ ⎟ ⎝ ⎜ O I⎠ ⎟ 5⎜ ⎟ 5 2 ⎝ O⋅I 1I ⋅O O⋅ A1I ⎠ ⎝ ⎜ O I ⎠ ⎟ Como B 1 A 5 A 1 B, CD 5 DC, es decir, las matrices son conmutativas. Para poder probar los teoremas 2 y 3 y para estudiar muchas otras partes del material de este libro es necesario utilizar la notación de sumatoria. Si el lector no está familiarizado con ella, conforme avance en el libro obtendrá suficiente información al respecto. De otra manera puede ir directamente a las demostraciones de los teoremas 2 y 3.
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