lgebra Lineal;Stanley I. Grossman

556 CAPÍTULO 6 Valores característicos, vectores característicos y formas canónicas
EJEMPLO 2
Una matriz semejante a una matriz diagonal
⎛1
0 0⎞
⎛26
23
Sea D5 ⎜
0 21
0
⎟
, A5
⎜
2 1
⎝
⎜ 0 0 2⎠
⎟
⎝
⎜ 2 2
det C 5 3 Z 0. Después calculamos.
225⎞
8
⎟
7⎠
⎟
⎛ 2 4 3⎞
y C 5
⎜
0 1 21
⎟
. C es invertible porque
⎝
⎜ 3 5 7⎠
⎟
⎛ 2 4 3⎞
⎛26
23
225⎞
⎛ 2 4
CA 5
⎜
0 1 21
⎟ ⎜
2 1 8
⎟
5
⎜
0 21
⎝
⎜ 3 5 7⎠
⎟
⎝
⎜ 2 2 7⎠
⎟
⎝
⎜ 6 10
⎛1
0 0⎞
⎛ 2 4 3⎞
⎛ 2 4 3⎞
DC 5
⎜
0 21
0
⎟ ⎜
0 1 1 0 1
2 ⎟
5 ⎜
2 1 ⎟
⎝
⎜ 0 0 2⎠
⎟
⎝
⎜ 3 5 7⎠
⎟
⎝
⎜ 6 10 14⎠
⎟
3⎞
1
⎟
14⎠
⎟
Entonces CA 5 DC y A 5 C 21 DC, por lo tanto A y D son semejantes.
Nota. En los ejemplos 1 y 2 no fue necesario calcular C 21 . Sólo fue necesario saber que C era
no singular.
TEOREMA 1
DEMOSTRACIÓN
Si A y B son matrices semejantes de n 3 n, entonces A y B tienen el mismo polinomio
característico y, por consiguiente, tienen los mismos valores característicos.
Como A y B son semejantes, B 5 C 21 AC y
5det
C 21 A2IC
5det
C 21
det A2I
21 21
5det C det Cdet A2 I 5det
C C
5det I det A2I5det
A2I
det B2 I 5det C 2 1
AC2 I 5det
C 2 1
AC2C 2 1
I C
det
C
det A2I
Esto significa que A y B tienen la misma ecuación característica, y como los valores
característicos son raíces de la ecuación característica, tienen los mismos valores característicos.
EJEMPLO 3
Los valores característicos de matrices semejantes son los mismos
⎛1
0
En el ejemplo 2 es obvio que los valores característicos de D 5
⎜
0 21
⎝
⎜ 0 0
0⎞
0
⎟
son 1, 21 y 2. En-
2⎠
⎟
⎛26
23
225⎞
tonces éstos son los valores característicos de A5
⎜
2 1 8
⎟
. Verifique esto viendo si se
⎝
⎜ 2 2 7⎠
⎟
cumple que det (A 2 I) 5 det (A 1 I) 5 det (A 2 2I) 5 0.
En muchas aplicaciones resulta útil “diagonalizar” una matriz A, es decir, encontrar una matriz
diagonal semejante a A.