lgebra Lineal;Stanley I. Grossman

538 CAPÍTULO 6 Valores característicos, vectores característicos y formas canónicas
Demuestre que para cada matriz λ 5 2 es un valor característico con multiplicidad algebraica
4. En cada caso calcule la multiplicidad geométrica de λ 5 2.
*40. Sea A una matriz real de n 3 n. Demuestre que si λ 1
es un valor característico complejo
de A con vector característico v 1
, entonces λ 1
es un valor característico de A con vector
característico v 1
.
41. Una matriz de probabilidad es una matriz de n 3 n que tiene dos propiedades:
i. a ij
$ 0 para toda i y j.
ii. La suma de las componentes en cada columna es 1.
Demuestre que 1 es un valor característico de toda matriz de probabilidad.
⎛ ⎞
42. Sea A 5 a b
⎝
⎜
c d⎠
⎟ una matriz de 2 3 2. Suponga que b Z 0. Sea m una raíz (real o compleja)
de la ecuación
bm 2 1 (a 2 d)m 2 c 5 0
demuestre que a 1 bm es un valor característico de A con vector característico correspondiente
v 5
⎛ 1 ⎞
⎝
⎜
m⎠
⎟ . Esto proporciona un método sencillo para calcular los valores y vectores
característicos de las matrices de 2 3 2. [Este procedimiento apareció en el artículo “A
Simple Algorithm for Finding Eigenvalues and Eigenvectors for 2 3 2 Matrices” de Tyre
A. Newton en el American Mathematical Monthly, 97(1), enero 1990, 57-60.]
⎛ a
43. Sea A5
⎝
⎜
c
0 ⎞
d⎠
⎟ una matriz de 2 3 2. Demuestre que d es un valor característico de A con
vector característico correspondiente ⎛ 1⎞
⎝
⎜
0⎠
⎟ .
⎛
44. Sea A5 α β⎞
⎝
⎜
2β α⎠
⎟ , donde a, b ∈ R:
i. Demuestre que los valores característicos son a 1 ib.
ii. Encuentre los valores característicos de la matriz B 5 A t A.
MANEJO DE LA CALCULADORA
Los valores y vectores característicos se pueden obtener directamente en la HP 50g.
Suponga que se introduce una matriz cuadrada A en el primer renglón de la pila, el
comando EGV regresa los vectores característicos y los valores característicos de la
matriz A como se muestra a continuación.
⎛ 4 1 21⎞
Por ejemplo, si A5
⎜
21 3 2
⎟
y se quieren obtener los vectores y valores caracterís-
⎝
⎜21 2 1⎠
⎟
ticos procedemos como sigue: escribimos la matriz en el primer renglón de la pila
[]
“”
3
[]
“”
3
1 SPC 1 +/–w SPC 4
[]
“”
3
3 SPC 2 SPC 1 +/–w