lgebra Lineal;Stanley I. Grossman

120 CAPÍTULO 1 Sistemas de ecuaciones lineales y matrices
OTRA FORMA DE ESCRIBIR EL PRODUCTO ESCALAR
⎛ a ⎞
⎛ b ⎞
1
1
⎜
a
⎟
⎜
b
⎟
2
Sean a 5 ⎜ ⎟
⎜ 2
y b 5 ⎟ dos vectores columna con n componentes. Entonces, de la ecuación
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ a b
n ⎠
⎝ n ⎠
(1) en la página 58,
a ? b 5 a 1
b 2
1 a 2
b 2
1 . . . 1 a n
b n
Ahora bien, a es una matriz de n 3 1 de manera que a t es una matriz de 1 3 n y
a t 5 (a 1
, a 2
. . . a n
)
Entonces a t b es una matriz de 1 3 1 (o escalar), y por la definición de la multiplicación de
matriz
t
ab5
⎛ b ⎞
1
⎜
b
⎟
2
( aa a
) ⎜ ⎟ 5ab 1ab ab
1 2 n
1 1 2 2
n n
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ b ⎠
De ese modo, si a y b son vectores columna de n componentes, entonces
n
a ? b 5 a t b (6)
La fórmula (6) será de utilidad más adelante en este libro.
Problemas 1.9
A UTOEVALUACIÓN
I. Si una matriz A es de 3 3 4, entonces A t es una matriz de _______.
a) 4 3 3 b) 3 3 4 c) 3 3 3 d) 4 3 4
II. Falso-verdadero: A t está definida sólo si A es una matriz cuadrada.
III. Falso-verdadero: Si A es una matriz de n 3 n, entonces la diagonal principal de A t es
la misma que la diagonal principal de A.
IV. Falso-verdadero: [(A t ) t ] t 5 A t
⎛ 1 2 3⎞
V. La transpuesta de
⎝
⎜
21 0 0⎠
⎟ es _______.
a)
⎛21 1⎞
⎜
2 0
⎟
⎝
⎜ 3 0⎠
⎟
b)
⎛ 1 21⎞
⎜
2 0
⎟
⎝
⎜ 3 0⎠
⎟
c)
⎛ 1 0⎞
⎜
21 3
⎟
⎝
⎜ 2 0⎠
⎟
d) ⎛ 21 22 23⎞
⎝ ⎜ 1 0 0⎠
⎟